Grundrechenart

Eine Grundrechenart ist eine der vier mathematischen Operatoren

Addition Subtraktion

Multiplikation Division

Zwischen ihnen gilt die Rangfolge Punktrechnung vor Strichrechnung.

Beispiel	Lateinische Bezeichnung	Deutsche Bezeichnung	1. Operand	Name des Symbols	2. Operand	Bezeichnung des Ergebnisses
$\ 1+1=2\$	Addition, addieren, summieren	zusammenzählen	Summand	plus	Summand	Summe
$11-2=9\$	Subtraktion, subtrahieren	abziehen	Minuend	minus	Subtrahend	Differenz
$3\cdot 33=99$	Multiplikation, multiplizieren	malnehmen	Multiplikand oder Faktor	mal	Multiplikator oder Faktor	Produkt
$35:7=5\$	Division, dividieren	teilen	Dividend	durch	Divisor	Quotient

Bedeutung der Grundrechenarten

Die Beherrschung der Grundrechenarten gehört zu den während der Schulzeit von jedem Schüler zu erwerbenden Grundfertigkeiten Lesen, Schreiben und Rechnen. Die Grundrechenarten werden im Mathematik-Unterricht der Grundschule während der ersten vier Schuljahre behandelt und eingeübt, auch in Form von Textaufgaben (Sachaufgaben). Sie werden beim Übergang in eine weiterführende Schule (Hauptschule, Realschule, Gymnasium) vorausgesetzt und sind normalerweise Gegenstand von Aufnahmeprüfungen.

Die vier Grundrechenarten werden in der Theorie vom mathematischen Körper auf eine formelle Grundlage gestellt.

Viele mathematische Probleme lassen sich auf die Grundrechenarten zurückführen.

Grundrechenarten in der Informatik

Darstellung der vier Operatoren

Im Rahmen der Programmiersprachen werden die Grundrechenarten durch so genannte Operatoren realisiert. Diese werden durch einen Compiler oder Interpreter in Maschinenbefehle übersetzt. Die Ausführung von Rechenoperationen in der Datenverarbeitung erzwingt eine Typisierung von Daten. Der zurzeit mit Abstand am häufigsten verwendete Datentyp ist dabei eine „ganze Zahl“, repräsentiert durch 32 Bit (davon ein Bit für das Vorzeichen, in C signed int, in Pascal integer). Für diesen Datentyp realisiert der Operator „/“ in den meisten Programmiersprachen dann auch die Ganzzahl-Division ohne Rest, während er im Zusammenhang mit Gleitkommazahlen für eine Gleitkomma-Division steht. Manche Programmiersprachen vermeiden diese „Unklarheit“ und führen ein eigenes Schlüsselwort ein, so z. B. Pascal das Schlüsselwort DIV. Manche nicht stark typisierte Programmiersprache führt auch implizit eine Typumwandlung durch. Moderne Mikroprozessoren für Personal Computer realisieren die Grundrechenarten plus die Modulo-Operation für ganze Zahlen (int) als direkte Hardwarefunktion. Kleinere Prozessoren bieten oftmals nur Additions-und Subtraktionsbefehle sowie Schiebebefehle an, so dass Multiplikation und Division durch mehrere Maschinenbefehle (typischerweise im Rahmen von Unterroutinen) realisiert werden müssen.

Um reelle Zahlen darzustellen, wird oft ein Gleitkomma-Datentyp (in C float, in Pascal real) verwendet. Die Grundrechenarten werden für diesen Datentyp wiederum als Operatoren in Hochsprachen angeboten. Für viele Programmiersprachen existiert aber keine direkte Abbildung der Grundrechenarten für komplexe Zahlen und Matrizen als Operator. Einige Programmiersprachen erlauben es aber, dass Operatorsymbole für Datentypen überladen werden (z. B. C++).

Die Restbildung wird in der Schulmathematik nicht als eigene Operation aufgefasst. Man schreibt $7/3=2\ \text{Rest}\, 1$. Der binäre Operator „/“ liefert hier als Ergebnis ein geordnetes Paar zweier Zahlen und bildet damit eine Funktion mit zwei Eingabewerten und einem Paar von Rückgabewerten, in der Mathematik wird er oft durch zwei Funktionen ersetzt.

$/:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$

In vielen Programmiersprachen wird zusätzlich zum Divisionsoperator der Modulo-Operator definiert (C: %, Pascal: mod).

Oftmals wird auch eine Funktion definiert und implementiert, die effizient beide Operationen ausführt. Hintergrund ist, das die meisten Prozessoren, die einen Ganzzahldivisions-Befehl anbieten, das Ergebnis zusammen mit dem Rest in einem Arbeitsgang (einem Maschinenbefehl) ermitteln.

Eine andere Möglichkeit zur Lösung der Division im Bereich der ganzen Zahlen ist die Rundung.

Grundrechenarten in der Algebra

Streng algebraisch betrachtet gibt es keine Subtraktion oder Division als eigenständige mathematische Operation.

Vielmehr werden in der Algebra Gruppen so definiert, dass für jedes Element X der zugrunde liegenden Menge bzgl. der Operation „+“ ein inverses Element (bezeichnet durch „−X“) existieren muss, für das X + ( − X) = 0 gilt, wobei 0 das neutrale Element der Gruppe ist (0 + X = X für alle X). Sind also A und B Elemente der Menge der ganzen Zahlen, dann stellt die folgende Gleichung tatsächlich eine Additionsoperation dar:

$A-B=A+(-B)\$

Bsp: ${\color{Red}3-5}=3+(-5)=3+(-(3+2))=3+(-3+(-2))=(3+(-3))+(-2)=0+(-2)= -2$.

Analog geht man für die Definition der Multiplikation und Division vor (siehe Körper). Bei Vektorräumen wird das Skalarprodukt eingeführt. Dies ist aber nicht mit der Multiplikation auf Körpern zu vergleichen, da es auf zwei Elementen eines Vektorraums ausgeführt wird und diese auf ein Element des zugrunde liegenden Körpers abbildet.

Insbesondere folgt daraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen keine Gruppe bzgl. der Addition bilden (Beweis: für das Element 1 existiert keine inverses Element). Daher lassen sich natürliche Zahlen nicht „subtrahieren“.

In der Grundschulausbildung wird der Begriff der Subtraktion gelehrt, ohne dass negative Zahlen eingeführt werden. Dabei treten Gleichungen auf, die sich nicht lösen lassen. Des Weiteren sind die Rechenregeln der Subtraktion schwerer zu lernen, dafür wird auf den im Vergleich zu den natürlichen Zahlen schwerer greifbaren Begriff ganzer Zahlen verzichtet.

Als einfaches Beispiel für die Notwendigkeit einer allgemein gültigen algebraischen Definition kann die Gruppe basierend auf der Menge der Zahlen {0, 1, 2} bzgl. der Addition modulo 3 verwendet werden (siehe Restklassenring). Durch einfaches Nachrechnen kann festgestellt werden, dass dort −1 = 2 ist.

$(1+{\color{Red}-1})\mod\ 3=(1+2)\mod\ 3=3\mod\ 3=0$. Q. e. d.

Es muss strikt zwischen dem Gruppenoperator Addition und den Rechenverfahren Addition und Subtraktion unterschieden werden.

Siehe auch

In älteren Zahlensystemen wurde auch die Duplation, d.h. die Verdopplung, als Grundrechenart gelehrt.

Weblinks

• Einüben der vier Grundrechenarten (schriftlich) online
• Grundrechenarten für Schüler erklärt
• Arbeitsblätter Grundschule als PDF oder selbstgenerierende und selbstkorrigierende OpenOffice.org-Tabelle