Hooke'sches Gesetz

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Das Hooke'sche Gesetz (nach Sir Robert Hooke) beschreibt das elastische Verhalten von Festkörpern, deren elastische Verformung annähernd proportional zur einwirkenden Belastung ist, durch einen streng linearen Zusammenhang (linear-elastisches Verhalten). Dieses Verhalten ist z. B. typisch für Metalle bei kleinen Belastungen sowie für harte, spröde Stoffe oft bis zum Bruch (Glas, Keramik).

Andere Materialien verhalten sich plastisch bzw. duktil (z. B. Metalle nach Überschreiten der Fließgrenze) oder nicht-linear elastisch (z. B. Gummi).

Eindimensionaler Fall

Für einen prismatischen Körper der Länge l₀ und der Querschnittsfläche A gilt demzufolge unter einachsiger Zug- oder Druckbelastung entlang der x-Achse:

$\sigma_x = E \cdot \varepsilon_x$

Die Proportionalitätskonstante E heißt Elastizitätsmodul. Mit der Spannung

$\sigma_x = \frac{F_x}{A}$   und der Dehnung    $\quad\varepsilon_x = \frac{\Delta l }{l_0}$

ergibt sich die Darstellung

$F_x = \frac{E \cdot A}{l_0} \cdot \Delta l\,.$

Das Hookesche Gesetz kann also dort zur Anwendung kommen, wo die wirkende Kraft nahezu linear von der Auslenkung oder Ausdehnung abhängt. Das kann für sehr kleine Δl der Fall sein oder beispielsweise auch für einen großen Dehnungsbereich bei Zug- und Druckfedern. In diesem Spezialfall einer eindimensionalen linearen elastischen Deformation nennt man die Proportionalitätskonstante Federkonstante D, und der Zusammenhang zwischen der Federkraft F und der Längenänderung Δl kann dann in der einfachen Form

$F = D \cdot \Delta l$

dargestellt werden.

Die Ausdehnung einer Feder durch eine Kraft ist also eine lineare Funktion der Kraft: Eine Schraubenfeder, die sich bei einer Zugkraft von einem Newton um einen Zentimeter ausdehnt, würde sich bei einer Zugkraft von zwei Newton demzufolge auch um zwei Zentimeter ausdehnen.

Diese Eigenschaft ist maßgeblich zum Beispiel für die Verwendung von Metallfedern als Kraftmesser und in Waagen. Bei anderen Materialien - wie zum Beispiel Gummi - ist der Zusammenhang zwischen einwirkender Kraft und Ausdehnung nicht linear.

Das Hookesche Gesetz findet nicht nur in der Mechanik, sondern auch in anderen Bereichen der Physik Anwendung. In der Quantenmechanik etwa lässt sich für hinreichend kleine Δl über die Anwendung des Hookeschen Gesetzes der quantenmechanische harmonische Oszillator beschreiben. Ein weiteres Beispiel ist die Molekularphysik. Hier kann, analog zur Federkonstanten, die Linearität zu Δl durch eine Kraftkonstante ausgedrückt werden. Diese Kraftkonstante beschreibt dann die Stärke einer chemischen Bindung.

Die in einer Feder durch Dehnung entstehende potentielle Energie kann folgendermaßen berechnet werden. Gegeben ist eine Auslenkung vom Betrag s die die Auslenkung aus der Ruhelage (s = 0, Gleichgewichtslage) beschreibt. Die Kraft ist proportional zur Auslenkung, nämlich $\vec F = - D\vec s$. Durch Integration der Kraft erhält man nun die potentielle Energie:

$E_{pot} = - \int\limits_0^{\vec s} {\vec{F}\cdot d\vec s\,'} = - \int\limits_0^{\vec s} {\left( { - D\vec s\,'} \right) \cdot d\vec s\,'} = D\int\limits_0^{\vec s} {\vec s\,' \cdot d\vec s\,'} = \frac{1}{2}Ds^2$

Dies ist das für viele Modellrechnungen wichtige harmonische Potential (proportional zu s²).

Verallgemeinertes Hookesches Gesetz

Im allgemeinen Fall wird das Hookesche Gesetz durch eine lineare Tensorgleichung (4. Stufe!) ausgedrückt:

$\tilde\sigma=\tilde{\tilde C}\tilde\varepsilon$,

mit dem Elastizitätstensor $\tilde{\tilde C}$, der die elastischen Eigenschaften der deformierten Materie kennzeichnet. Da der Tensor $\tilde{\tilde C}$ 81 Komponenten $C_{ijkl},\;i,j,k,l=1\ldots3$ aufweist, ist er schwierig zu handhaben. Aufgrund der Symmetrie von Verzerrungs- und Spannungstensor reduziert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten jedoch auf 36. Damit lässt sich das Hookesche Gesetz in eine einfacher zu handhabende Matrixgleichung überführen, wobei die elastischen Konstanten in einer $6\times6$-Matrix, sowie die Verzerrung und die Spannung als sechskomponentige Vektoren dargestellt werden (Voigtsche Notation):

$\begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\ C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \varepsilon_{3} \\ \varepsilon_{4} \\ \varepsilon_{5} \\ \varepsilon_{6} \end{pmatrix}.$

Aus energetischen Überlegungen ergibt sich, dass auch diese $6\times6$-Matrix symmetrisch ist. Die Anzahl der unabhängigen $C_{ij},\;i,j=1\ldots6$ (elastische Konstanten) reduziert sich damit weiter auf maximal 21.

Die maximal sechs unabhängigen der beiden symmetrischen Tensoren für Dehnung und Spannung werden häufig in der folgenden Weise auf zwei sechskomponentige Vektoren verteilt:

$\begin{matrix} &\epsilon_{xx}:=\varepsilon_x\,,\; \epsilon_{yy}:=\varepsilon_y\,,\; \epsilon_{zz}:=\varepsilon_z\,,\; \epsilon_{xy}=\epsilon_{yx}:=\sqrt{2}\gamma_{xy}\,,\\ &\epsilon_{yz}=\epsilon_{zy}:=\sqrt{2}\gamma_{xz}\,,\; \epsilon_{zx}=\epsilon_{xz}:=\sqrt{2}\gamma_{yz}\,, \end{matrix}$

also

$\mathbf\varepsilon^T=\left(\varepsilon_x\,,\;\varepsilon_y\,,\; \varepsilon_z\,,\;\sqrt{2}\gamma_{xy}\,,\;\sqrt{2}\gamma_{xz}\,,\; \sqrt{2}\gamma_{yz}\right)\,,$

und analog

$\mathbf\sigma^T=\left(\sigma_x\,,\;\sigma_y\,,\;\sigma_z\,,\; \sqrt{2}\tau_{xy}\,,\;\sqrt{2}\tau_{xz}\,,\;\sqrt{2}\tau_{yz}\right)\,.$

Der Faktor $\sqrt{2}$ ist notwendig, um Übereinstimmung zwischen der hier eingeführten Matrix/Vektor-Darstellung Tensorgleichung und der Tensorgleichung $\tilde\sigma=\tilde{\tilde C}\tilde\varepsilon$ herzustellen. (Statt $\sqrt{2}$ bei den Vektordarstellungen für sowohl Verzerrung als auch Spannung kann auch der Faktor 2 bei nur einem der beiden Vektoren verwendet werden.)

Schreibweise mit Lamé-Konstanten

Häufig findet sich für das verallgemeinerte Hookesche Gesetz auch eine Schreibweise mit Hilfe der Lamé-Konstanten:

$\sigma=2\mu \varepsilon +\lambda \; \mathrm{Spur}(\varepsilon)I$

Isotrope Medien

Im Spezialfall isotroper Medien reduziert sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten von 21 auf 2. Wesentliche Eigenschaften der Deformation lassen sich dann durch die Querkontraktionszahl charakterisieren. Das Hookesche Gesetz lässt sich dann darstellen in der Form

$\bar\varepsilon = L^{-1} \bar\sigma$, mit

$L^{-1} = \frac{1}{E} \begin{bmatrix} 1 &-\nu &-\nu &0 &0 &0 \\ \cdot &1 &-\nu &0 &0 &0 \\ \cdot &\cdot & 1 &0 &0 &0 \\ \cdot &\cdot &\cdot &2(1+\nu) &0 &0 \\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot &2(1+\nu) &0 \\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &2(1+\nu) \end{bmatrix}$, bzw.

$L = \frac{E}{1+\nu} \begin{bmatrix} \frac{1-\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\frac{1-\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\cdot &\frac{1-\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\cdot &\cdot &\frac{1}{2}&0&0\\ \cdot &\cdot &\cdot &0&\frac{1}{2}&0\\ \cdot &\cdot &\cdot &0&0&\frac{1}{2}\\ \end{bmatrix}$,

wobei E der Elastizitätsmodul (auch Young's modulus) und ν die Querkontraktionszahl sind. Beide sind vom Werkstoff bestimmt. Für eindimensionale Deformationen vereinfacht sich die Beziehung zu

$\varepsilon=\frac{1}{E}\sigma$.

Literatur

Schnell, Gross, Hauger: Technische Mechanik 2 (Elastostatik), Springer Verlag, ISBN 3-540-64147-5

Siehe auch

• Konfiguration (Mechanik)
• Kontinuumsmechanik
• Verformung
• Spannungstensor
• Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Weblinks

• http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/hooke.html Interaktives Modell zum hookeschen Gesetz