Klein-Gordon

Mit ihrer Klein-Gordon-Gleichung versuchten Oskar Klein und Walter Gordon Wellenfunktionen zu charakterisieren, die in der Quantenmechanik den Zuständen eines freien, relativistischen Teilchens entsprechen. Zwar ergibt sich aus ihr die richtige Beziehung zwischen Energie und Impuls, nicht aber der Spin des Teilchens. Bei geladenen Spin-1/2-Teilchen, wie dem Elektron und dem Proton im Wasserstoffatom, stimmen die Bindungsenergien, die man aus der Klein-Gordon-Gleichung herleitet, nicht mit den beobachteten Energien überein, weil sie nicht die Spins beider Teilchen berücksichtigt.

Die Klein-Gordon-Gleichung beschreibt spinlose Teilchen, beispielsweise Pionen, die in der Kernphysik ein Yukawa-Potential zwischen den Protonen und Neutronen im Kern bewirken.

Herleitung

Bei der Herleitung geht man von der Energie-Impuls-Beziehung

$E^2 - \mathbf{p}^2 c^2 = m^2 c^4$

zwischen der Energie E und dem Impuls $\mathbf p$ eines Teilchens der Masse m in der Speziellen Relativitätstheorie aus.

Die Erste Quantisierung deutet diese Gleichung als Gleichung für Operatoren, die auf Wellenfunktionen $\phi(t, \mathbf x)$ wirken. Dabei sind E und $\mathbf p$ die Operatoren

$E = \mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\,,\ \mathbf{p} =-\mathrm i\,\hbar\, \mathbf{\nabla}\,.$

Damit ergibt sich für Wellenfunktionen $\phi\,,$ die den quantenmechanischen Zuständen des relativistischen Teilchens der Masse m entsprechen, die Klein-Gordon-Gleichung

$\left[ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \mathbf{\nabla}^2 + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right] \phi(t, \mathbf{x}) = 0\,.$

An Stelle der SI-Einheiten verwendet man in der relativistischen Quantentheorie natürliche Einheiten, in denen $\hbar$ und c den Wert 1 haben. In diesen Einheiten und mit dem Wellenoperator

$\Box = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \mathbf{\nabla}^2 = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2}- \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}$

und mit der abkürzenden Bezeichnung $x=(t,\mathbf x)$ für die Raumzeitkoordinaten ist die Klein-Gordon-Gleichung einfach

$\left( \Box + m^2 \right) \phi(x) = 0\,.$

Lagrangedichte

Die Lagrangedichte für ein reelles Feld $\varphi$, die auf die Klein-Gordon-Gleichung führt, lautet

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[ (\partial_t \varphi)^2 - (\partial_x \varphi)^2 - (\partial_y \varphi)^2 - (\partial_z \varphi)^2 - m^2 \varphi^2 \right]\,.$

Bei einem komplexen Feld φ wählt man die Normierung

$\mathcal{L} = \partial_t \phi^\dagger\, \partial_t \phi -\partial_x \phi^\dagger\, \partial_x \phi -\partial_y \phi^\dagger\, \partial_y \phi -\partial_z \phi^\dagger\, \partial_z \phi - m^2 \phi^\dagger \,\phi\,.$

Hierbei ist $\phi^\dagger$ das komplex konjugierte Feld. Mit dieser Normierung ergeben sich in der Quantenfeldtheorie für das komplexe Feld dieselben Propagatoren wie für das reelle.

Kontinuitätsgleichung

Die Lagrangedichte für das komplexe Feld ist invariant unter der kontinuierlichen Schar von Transformationen

$T_\alpha:\ \phi \mapsto \mathrm e^{ \mathrm i \alpha } \phi \,,\ \phi^\dagger \mapsto \mathrm e^{- \mathrm i \alpha } \phi^\dagger \,,$

die das Feld mit einer komplexen Phase $\mathrm e^{\mathrm i \alpha}\,,0\le \alpha < 2\pi\,,$ multiplizieren. Nach dem Noether-Theorem gehört zu dieser kontinuierlichen Symmetrie ein erhaltener Strom mit Komponenten

$j_m = \mathrm i \left( \phi^\dagger\, \partial_m \phi - (\partial_m \phi^\dagger)\, \phi\right ) \,,\ m\in\{0,1,2,3\}\,.$

Die 0-Komponente ist die Dichte der erhaltenen Ladung,

$\rho(x) = j_0(x) = \mathrm i \left( \phi^\dagger\, \partial_t \phi - (\partial_t \phi^\dagger)\, \phi \right)\,.$

Diese Dichte ist nicht positiv definit und kann nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte gedeutet werden. Vielmehr ist

$Q = \int \mathrm{d}^3 x \, j_0 = \mathrm i \int \mathrm{d}^3 x \, \left( \phi^\dagger\, \partial_t \phi - (\partial_t \phi^\dagger)\, \phi \right)\,.$

die elektrische Ladung und j_m die elektromagnetische Viererstromdichte, an die das skalare Potential und das Vektorpotential der Elektrodynamik koppeln.

Lösung der Klein-Gordon-Gleichung

Die ebene Welle

$\mathrm e^{\mathrm i \bigl( \mathbf k\cdot \mathbf x - \omega\,t\bigr)}$

ist eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung, wenn die Kreisfrequenz ω gemäß

$\omega(\mathbf k) = \sqrt{m^ 2+\mathbf k^ 2}$

mit dem Wellenvektor $\mathbf k$ zusammenhängt. Ebenso löst die konjugiert komplexe Welle

$\mathrm e^{-\mathrm i \bigl( \mathbf k\cdot \mathbf x - \omega\,t\bigr)}$

die Klein-Gordon-Gleichung, denn sie ist reell.

Da die Klein-Gordon-Gleichung linear ist, sind Summen und komplexe Vielfache von Lösungen ebenso Lösungen. Daher löst

$\phi(x) = \int\!\! \frac{\mathrm{d}^3 k}{(2\pi)^3\,2\, \omega(\mathbf{k})} \left[ a(\mathbf{k})\,\mathrm e^{\mathrm i \bigl( \mathbf k\cdot \mathbf x - \omega(\mathbf k)\,t\bigr)}+ b^\dagger (\mathbf{k})\,\mathrm e^{-\mathrm i \bigl( \mathbf k\cdot \mathbf x -\omega(\mathbf k)\,t\bigr)}\right]$

mit beliebigen Fouriertransformierbaren Amplituden $a(\mathbf k)$ und $b^\dagger(\mathbf k)$ die Klein-Gordon-Gleichung. Umgekehrt ist jede Fouriertransformierbare Lösung von dieser Form.

In dieser Darstellung der Lösung ist allerdings nicht ersichtlich, dass sie im Punkt x nur von ihren Anfangswerten auf und im Inneren des Lichtkegels von x abhängt.

In der Quantenfeldtheorie (in der die angegebenen Normierungsfaktoren verwendet werden) ist φ ein Operator. Der Operator $a(\mathbf k)$ vernichtet in Teilchenzuständen spinlose Teilchen, beispielsweise negative Pionen, $b^\dagger(\mathbf k)$ erzeugt die entgegengesetzt geladenen Antiteilchen, positive Pionen. Der adjungierte Operator $\phi^\dagger$ vernichtet dann positive Pionen und erzeugt negative Pionen.

Für ein relles Feld $\varphi$ gilt $b^\dagger(\mathbf k) = (a(\mathbf k))^\dagger\,.$ Es ist invariant unter Phasentransformationen und trägt nicht zum elektromagnetischen Strom bei. Die Teilchen, die das reelle Feld vernichtet und erzeugt, sind ungeladen und stimmen mit ihren Antiteilchen, beispielsweise neutralen Pionen, überein.

Siehe auch

• Wellengleichung

Literatur

• N. N. Bogoliubov, D. V. Shirkov, Introduction to the Theory of Quantized Fields, Wiley-Interscience, New York, 1959
• Richard Courant und David Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, Band 2, Springer Verlag, zweite Auflage 1968