Dichtematrix

In der Physik beschreibt man mit einer Dichtematrix bzw. einem Dichteoperator (auch statistische Matrix bzw. statistischer Operator), mit welchen Wahrscheinlichkeiten sich ein Quantenzustand in einzelnen reinen Zuständen befindet.

Konstruktion von Dichtematrizen

Mit einem vollständigen Satz von reinen Zuständen $|\Psi_i\rangle$ lässt sich die Dichtematrix durch

$\rho = \sum_i p_i \left|\psi_i\right\rangle\left\langle\psi_i\right|$

ausdrücken, wobei $p_i\,$ die Wahrscheinlichkeiten sind, dass sich das System im Zustand $\Psi_i\,$ befindet.

Zu jedem reinen Zustand $|\Psi\rangle$ kann man einen Projektionsoperator

$\mathbb{P}_\Psi = |\Psi\rangle \; \langle\Psi|$

definieren. Für Projektionsoperatoren gilt $\mathbb{P}^2=\mathbb{P}$. Mit Hilfe der Projektionsoperatoren lässt sich die Dichtematrix auch als

$\rho = \sum_i p_i \mathbb{P}_{\Psi_i}$

schreiben.

Formale Definition

Gegeben sei ein quantenmechanisches System, das auf einem Hilbertraum $\mathbf H$ modelliert ist. Ein beschränkter linearer Operator ρ auf $\mathbf H$ ist ein Dichteoperator, wenn gilt:

1. er ist positiv semidefinit,
2. er ist Spurklasse mit Spur gleich 1.

Obwohl die Begriffe Dichtematrix und Dichteoperator oft synonym gebraucht werden, besteht ein mathematischer Unterschied. Genau wie in der linearen Algebra eine Matrix die Basisdarstellung eines linearen Operators ist, kann in der Quantenmechanik zwischen abstraktem Dichteoperator und einer konkreten Dichtematrix in einer bestimmten Darstellung unterschieden werden. Ist ρ ein Dichteoperator, so bezeichnet

$\rho(x,y)= \langle x|\rho|y\rangle$

die Dichtematrix in Ortsdarstellung. Sie ist allerdings keine echte Matrix, da die Ortsdarstellung über ein Kontinuum von uneigentlichen Basisvektoren $|x\rangle$ definiert ist. Es handelt sich um einen so genannten Integralkern. In endlichdimensionalen Hilberträumen (z. B. bei Spinsystemen) ergibt sich dagegen dann eine positiv semidefinite Matrix mit Spur 1, also eine echte Dichtematrix, wenn eine Orthonormalbasis $\mathbf{e}_i$ gewählt wird

$\rho_{ij}=\langle \mathbf{e}_i|\rho|\mathbf{e}_j\rangle$

Eigenschaften

• Jeder Dichteoperator ist selbstadjungiert (oder hermitesch), da positive Operatoren immer selbstadjungiert sind.

• Die Menge aller Dichteoperatoren ist eine konvexe Menge, deren Rand die Menge der reinen (quantenmechanischen) Zustände ist. Die Menge ist, im Gegensatz zu klassischen Theorien, kein Simplex, d. h. ein Dichteoperator ist im Allgemeinen nicht eindeutig als Konvexkombination von reinen Zuständen darstellbar.

• Die Wahrscheinlichkeit, bei der Messung einer Observablen $A\,$ an einem System, das durch den Dichteoperator $\rho\,$ beschrieben wird, den Messwert $a\,$ zu erhalten ist durch

$p_a = \sum_i\left\langle a_i\right| \rho \left|a_i\right\rangle=\mbox{Tr}(\mathbb{P}_a \rho)$

gegeben, wobei $\left|a_i\right\rangle$ die orthonormierten Eigenvektoren zum Eigenwert a sind und $\mathbb{P}_a$ der Projektor auf den entsprechenden Eigenraum ist.

• Der Mittelwert der Messwerte (Erwartungswert) bei Messung einer Observablen A ist

$\left\langle A \right\rangle=\mbox{Tr}(A \rho).$

Eigenschaften der Dichtematrix für reine Zustände

Ist das betrachtete Ensemble ein reines Ensemble, besteht das System also nur aus einem reinen Zustand, so gilt für die Dichtematrix $\operatorname{Tr}\,(\rho^2) = \operatorname{Tr}\,(\rho) = 1$.

Für gemischte Zustände gilt stets $\operatorname{Tr}\,(\rho^2) < 1$.

Dichtematrix für ein gleichverteiltes Ensemble

Ein N-Level-System, bei dem alle Zustände gleich wahrscheinlich sind, hat die Dichtematrix

$\rho = \frac{1}{N}\mathbf{1}_N\ ,$

wobei $\mathbf{1}_N$ die N-dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet.

Zeitentwicklung

Aus der Schrödingergleichung, die die Zeitentwicklung (Dynamik) reiner Quantenzustände beschreibt, kann man unmittelbar die Zeitentwicklung gemischter Zustände ableiten. Dazu benutzt man eine beliebige Zerlegung der Dichtematrix in reine Zustände, deren Dynamik der Schrödinger-Gleichung genügt, und berechnet daraus die Dynamik des gemischten Zustandes zu

$\dot{\rho}=\frac{i}{\hbar}[\rho,H],$

wobei H der Hamilton-Operator des Systems ist. Diese Gleichung ist als von-Neumann'sche Bewegungsgleichung bekannt ( $\ne$ Heisenberg'sche Bewegungsgleichung).

Man kann für zeitunabhängige Hamilton-Operatoren diese Differentialgleichung leicht integrieren und erhält mit dem unitären Zeitentwicklungs-Operator $U(t)=e^{-i H t/\hbar}$ die Gleichung

$\rho(t)=U(t)\rho(0)U^\dagger(t)\ .$

Bemerkenswert ist hierbei, dass für diesen Operator die übliche Heisenberg'sche Bewegungsgleichung nicht gilt, da ρ keine Observable ist. Auch die Transformation mit dem Zeitentwicklungsoperator ist nicht gemäß der üblichen Zeitentwicklungsgleichung für Operatoren.

Entropie

Mit Hilfe der Dichtematrix ρ lässt sich die Entropie eines Systems wie folgt definieren (siehe auch Von-Neumann-Entropie):

$S = - k_B \hbox{Tr} \left( \rho \ln{\rho} \right),$

wobei k_B die Boltzmannkonstante ist, und die Spur über dem Raum H genommen ist, in dem ρ operiert.

Die Entropie jedes reinen Zustands ist Null, da die Eigenwerte der Dichtematrix Null und Eins sind. Dies stimmt mit der heuristischen Argumentation überein, dass keine Unsicherheit über die Präparation des Zustandes herrscht.

Man kann zeigen, dass unitäre Operatoren angewendet auf einen Zustand (wie der aus der Schrödinger-Gleichung gewonnene Zeitentwicklungs-Operator) die Entropie des Systems nicht ändern. Das verbindet die Reversibilität eines Prozesses mit seiner Entropieänderung - ein fundamentales Ergebnis, das die Quantenmechanik mit der Informationstheorie und der Thermodynamik verbindet.

Weblinks

• Artikel von Lieven Smits aus Antwerpen über De dichtheidsmatrix in de statistische mechanica (in niederländisch)