Satz von Liouville (Physik)

Der Satz von Liouville (auch „Liouville-Theorem“ genannt, nach Joseph Liouville) ist eine direkte Folge aus der Liouville-Gleichung und besagt, dass das von benachbarten Trajektorien im Phasenraum eingeschlossene (mehrdimensionale) Volumen konstant ist. Der Satz gilt für konservative Systeme, die im Hamilton-Formalismus beschrieben werden können und aus unabhängigen Teilchen mit gleicher Hamilton-Funktion bestehen. Er gilt deshalb beispielsweise nicht für Isotopen-Gemische, aber für jedes Isotop separat.

Folgerungen

Das bedeutet, dass für frei fliegende gleiche Teilchen (auch für Lichtteilchen, also Photonen gleicher Wellenlänge) die Dichte im Ortsraum nur erhöht werden kann, wenn gleichzeitig die Dichte im Impulsraum verringert wird, wenn also die Geschwindigkeiten (nach Richtung oder Betrag) in einem größeren Bereich liegen. Mit „Ortsraum“ ist dabei unser „gewöhnlicher“ dreidimensionaler Raum gemeint; Impulsraum ist ein mathematischer Raum, dessen Koordinaten die Vektorkomponenten des Impulses sind.

Wenn ein Strahl annähernd parallel fliegender Teilchen (kleine Impulsunschärfe quer zur Bewegungsrichtung) auf einen kleineren Durchmesser fokussiert wird, wird die Dichte im Ortsraum erhöht. Es muss daher die Dichte im Impulsraum verringert werden, die Teilchen müssen also stärker unterschiedliche Impulse (Geschwindigkeiten quer zur Strahlrichtung) erhalten. Es können daher die Teilchenbahnen also nicht mehr so genau parallel bleiben.

Der Satz von Liouville begrenzt, wie stark ein Teilchen- oder Lichtstrahl fokussiert werden kann, ohne Teilchen (bzw. Licht) zu verlieren. Beispielsweise kann ein Laserstrahl mit 1 mm² Strahlquerschnitt, in dem alle Photonen nahezu denselben Impuls quer zur Strahlrichtung haben (also „parallel fliegen“), auf einen viel kleineren Durchmesser fokussiert werden als das Licht einer kleinen Glühlampe, deren Glühfaden eine Fläche von etwa 1 mm² hat. Grund dafür ist, dass das Licht der Glühbirne in alle Richtungen emittiert wird, also der Impuls der Photonen sehr unterschiedlich ist (großes Volumen im Impulsraum, das nicht mehr vergrößert werden kann).

Anmerkung: Ein so einfacher Zusammenhang zwischen Impuls und Geschwindigkeit, wie hier angenommen wurde, ist nur gültig, wenn keine Magnetfelder zu berücksichtigen sind.

Eine weitere Folgerung aus dem Satz von Liouville ist die Kontinuitätsgleichung der Hydrodynamik.

Mathematische Betrachtung

Betrachte einen Phasenraumvektor $\vec{x}=(\vec{q},\vec{p})$, der sowohl kanonische Koordinaten als auch Impulse beinhaltet. Die zeitliche Ableitung dieses Vektors lautet unter Verwendung der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:

$\dot{\vec{x}}=\left(\dot{\vec{q}},\dot{\vec{p}}\right)=\left(\frac{\partial H}{\partial\vec{p}}\,,-\frac{\partial H}{\partial\vec{q}}\right)$

Wenden wir die Divergenz $\operatorname{div}:=(\frac{\partial}{\partial\vec{q}}\,,\frac{\partial}{\partial\vec{p}})$ auf $\dot{\vec{x}}$ an, so erhält man

$\operatorname{div}\dot{\vec{x}}=\frac{\partial^{2}H}{\partial\vec{q}\,\partial\vec{p}}-\frac{\partial^{2}H}{\partial\vec{p}\,\partial\vec{q}}=0$

Das Geschwindigkeitsfeld $\dot{\vec{x}}$ ist also quellenfrei. Die Liouville-Gleichung kann mit obigen Größen als Kontinuitätsgleichung geschrieben werden:

$\frac{\partial}{\partial t}\rho=-\{\rho,H\}=-\left(\frac{\partial\rho}{\partial\vec{q}}\,\dot{\vec{q}}+\frac{\partial\rho}{\partial\vec{p}}\,\,\dot{\vec{p}}\right)=-\operatorname{div}\!\left(\rho\dot{\vec{x}}\right)$

Man kann sich daher die Dynamik der Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum als Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit veranschaulichen. Aus der Kontinuitätsgleichung folgt, dass das Phasenraumintegral über ρ eine Erhaltungsgröße ist und aus der Divergenzfreiheit folgt die Inkompressibilität. Somit muss das eingenommene Phasenraumvolumen konstant sein.

Literatur

Franz Schwabl: Statistische Mechanik. Springer 2006, ISBN 978-3-540-31095-2

Siehe auch

• Satz von Liouville (Funktionentheorie)
• Satz von Liouville (Differentialgeometrie)