Alpha-stabile Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind $X_1,X_2, \ldots, X_n, X$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt

$X_1+X_2+ \dotsb+X_n \sim c_n X$ für alle $n \in \mathbb{N}$ und eine Folge $(c_n)_{n\in \N}$,

so nennt man X stabil verteilt, wobei ∼ als "hat dieselbe Verteilung wie" zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl $c_n=n^{1/\alpha}, \alpha \in (0,2]$ ist. Die reelle Zahl α nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy stabile Verteilungen.

Beispiele

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes α des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:

• Die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 ist stabil mit Formparameter α = 2, denn bekanntlich gilt

$X_1, X_2, \ldots, X_n \sim \mathcal{N} (0,\sigma^2) \Rightarrow \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{N} (0,n \sigma^2) \sim n^{1/2} \mathcal{N} (0,\sigma^2)$. Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter α = 2.

• Die zentrierte Cauchy-Verteilung erfüllt die Gleichung

$X_1, X_2, \ldots, X_n \sim {\rm Cauchy} (0,a) \Rightarrow \sum_{i=1}^n X_i \sim n \, {\rm Cauchy} (0,a)$

sie ist also stabil mit Formparameter α = 1.

• Die (eigentliche) Standard-Lévy-Verteilung ist stabil mit $\alpha=\frac{1}{2}$.

Eigenschaften

• Die charakteristische Funktion einer α-stabilen Verteilung ist gegeben durch

$\psi_{\alpha, \beta}(u)=\exp\left(-|u|^\alpha \left(1-i \beta \tan\left(\frac{\pi \alpha}{2}\right) \sgn(u)\right)\right)$

Der Parameter $\beta \in [-1,1]$ ist hierbei frei wählbar und heißt Schiefeparameter.

• Endliche Varianz existiert nur für α = 2. Dies folgt unmittelbar aus dem Zentralen Grenzwertsatz.
• Für $1<\alpha\leq2$ hat die Verteilung den Erwartungswert 0, für $\alpha\leq1$ existiert kein Erwartungswert. Dies folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen.
• Alle alpha-stabilen Verteilungen sind unendlich teilbar und selbstähnlich („selfdecomposable“).

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta