Zahlenmenge

Eine Zahlenmenge (auch Zahlenbereich oder Zahlenraum) ist eine genau definierte Menge von Zahlen. In der Regel werden unter diesem Begriff nicht nur die Elemente einer Menge verstanden, sondern auch die verschiedenen mathematischen Operationen, die man in diesen Mengen uneingeschränkt durchführen kann.

Die Zahlenmengen wurden früher mit aufrecht stehenden fett gedruckten Großbuchstaben (also N, Z, Q, R, C, H usw.) bezeichnet. Um diese an der Tafel darzustellen, gingen Mathematiker dazu über, die Großbuchstaben mit doppelten Kreidestrichen darzustellen. Diese Darstellung wiederum fand dann Eingang in gedruckte Darstellungen. Heute ist in gedruckten mathematischen Lehrbüchern sowohl die Fettdruck- als auch die Doppelstrich-Variante verbreitet. Diese Bezeichnungen gehen auf Nicolas Bourbaki zurück.

Dieser Artikel liefert einen Überblick über die gängigen Zahlenmengen, die in der Mathematik betrachtet werden.

Übliche Zahlenmengen

Natürliche Zahlen

Symbol: $\mathbb{N}$ oder N

Natürliche Zahlen werden sowohl verwendet, um die Anzahl von Dingen zu beschreiben, als auch, um Dinge zu ordnen. Die Menge umfasst die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 usw. Zuweilen wird ihnen auch noch die Zahl 0 zugerechnet, manche Lehrbücher notieren diesen Zahlbereich dann als $\mathbb{N}_0$. Addition und Multiplikation sind uneingeschränkt möglich.

In den natürlichen Zahlen ist 3 + 4 = 7 definiert, aber 3 - 4 ist in $\mathbb{N}$ nicht wohldefiniert.

Eine wichtige Teilmenge der natürlichen Zahlen ist die Menge der Primzahlen, die manchmal mit $\mathbb P$ bezeichnet wird.

Ganze Zahlen

Symbol: $\mathbb{Z}$ oder Z

Diese Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen um negative ganze Zahlen. Mit ihnen ist es möglich, uneingeschränkt zu subtrahieren. Genau wie bei den natürlichen Zahlen ist bei ihnen auch Addition und Multiplikation uneingeschränkt durchführbar.

Beispiel: 3 - 4 = -1

Die Menge umfasst die Zahlen ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...

Rationale Zahlen

Symbol: $\mathbb{Q}$ oder Q

Die rationalen Zahlen umfassen die Menge aller Bruchzahlen - sie sind abzählbar. Eine Bruchzahl ist der Quotient zweier ganzer Zahlen, wobei die Einschränkung gilt, dass der Divisor (=Nenner) nicht 0 sein darf. Mit der Erweiterung auf die rationalen Zahlen sind alle vier Grundrechenarten inklusive der Division ausführbar.

Beispiele: $\tfrac{1}{3}$, $-\tfrac{7}{13}$, 1, − 8

Reelle Zahlen

Symbol: $\mathbb{R}$ oder R

Rationale Zahlen lassen sich als abbrechende oder periodische Dezimalzahlen darstellen. Lässt man beliebige Dezimalentwicklungen zu, erhält man die Menge der reellen Zahlen. Geometrisch erhält man die Menge der reellen Zahlen als Menge aller Punkte einer Geraden, die man dann die Zahlengerade nennt. Die darin enthaltenen rationalen Zahlen machen nur einen Teil dieser Punkte aus, $\sqrt[]{2}, \sqrt[3]{17}$, die Kreiszahl π, und die Eulersche Zahl e sind Beispiele für reelle Zahlen, die nicht rational sind und die man daher irrational nennt.

Komplexe Zahlen

Symbol: $\mathbb{C}$ oder C

Die komplexen Zahlen sind der algebraische Abschluss der reellen Zahlen. Dies bedeutet, dass jedes Polynom eine Nullstelle hat. Es gibt folglich eine (nicht-reelle) Zahl $i\in\mathbb{C}$ mit i² + 1 = 0, die imaginäre Einheit. Komplexe Zahlen bestehen aus einem reellen und einem imaginären Teil. Um komplexe Zahlen zu multiplizieren benutzt man oft die Gaußsche Zahlenebene und die Polarform.

Beispiele:

• $5 + 3i\approx 5{,}83 \cdot {e}^{{\rm i}\,{30{,}96}^{\circ}}$
• 4 − 5i

Vergleich der Zahlenbereiche

Wir erhalten die folgende Kette von Zahlbereichserweiterungen:

$\mathbb{N} \sub \mathbb{Z} \sub \mathbb{Q} \sub \mathbb{R} \sub \mathbb{C}.$

Hyperkomplexe Zahlen

Das Konstruktionsverfahren zur Erzeugung der komplexen Zahlen kann verallgemeinert werden und liefert u. a. die folgenden Zahlbereiche.

Quaternionen oder Hamilton-Zahlen

Symbol: $\mathbb{H}$ oder H

Diese Zahlen, die durch die Elemente des Quaternionenrings dargestellt werden, sind die Erweiterung der komplexen Zahlen. Sie bilden in ihrer algebraischen Struktur nur einen Schiefkörper, da sie nicht kommutativ sind. Ihre Darstellung erfolgt in Form von drei Imaginärteilen.

Beispiele: 5 + 3i + 9j + 4k, -8 + 6i - 3j + 9k

Die komplexen Zahlen können auf viele verschiedene Arten als Teilmenge der Quaternionen aufgefasst werden: Ist I = xi + yj + zk mit x² + y² + z² = 1, so ist $\mathbb R+\mathbb R\cdot I$ ein Körper, der isomorph zu den komplexen Zahlen ist. Alle diese so erhaltenen Teilkörper von $\mathbb{H}$ sind zueinander konjugiert.

Oktaven oder Oktonionen oder Cayley-Zahlen

Symbol: $\mathbb{O}$ oder O

Die Oktaven stellen eine achtdimensionale Erweiterung der reellen Zahlen (eine zweidimensionale Erweiterung des Quaternionenrings) dar. Ihre Multiplikation ist nicht mehr assoziativ, sondern nur noch alternativ. Sie sind der höchstdimensionale Zahlenbereich, in dem Division möglich ist, sie bilden eine Divisionsalgebra.

Beispiel: 7 + 8i + 3j - 12k + 4E - 8I - 9J + 12K

Da $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$, $\mathbb{O}$ die einzigen normierten Divisionsalgebren sind, werden sie ebenfalls als Zahlen bezeichnet, obschon etwa bei $\mathbb{O}$ nicht einmal mehr die Assoziativität gilt.

Hyperrationale Zahlen

Die Konstruktionsverfahren zur Erzeugung der reellen Zahlen können verallgemeinert werden und liefern u. a.:

p-adische Zahlen	$\mathbb Q_p$
Hyperreelle Zahlen	$^*\mathbb R$
Surreale Zahlen	$\boldsymbol{S_\omega}$

Weitere algebraische Strukturen, die manchmal Zahlen genannt werden

Sedenionen	$\mathbb{S}$
Restklassenkörper	$\mathbb Z/p\mathbb Z$, p Primzahl

Literatur

• Heinz-Dieter Ebbinghaus et. al.: Zahlen. 3. Aufl.. Springer, Berlin–Heidelberg 1992, ISBN 3-540-55654-0.

Weblinks

• http://www.henked.de/begriffe/zahlenmengen.htm
• Skript zum Aufbau der Zahlbereiche (im PDF-Format, deutsch) (285 kB)

Grundlegende Zahlenmengen

Natürliche Zahlen $\mathbb{N}$ | Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$ | Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$ | Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ | Komplexe Zahlen $\mathbb C$