Winkelverzerrung

Unter Winkelverzerrung versteht man in der Kartografie die Eigenschaft vieler Kartenprojektionen, dass Winkel aus der Natur auf einer Karte verändert dargestellt werden. Sie bedeutet eine Formänderung bei der Darstellung - vielfach etwa an der Verkürzung von Grönland oder der Verbreiterung von Sibirien zu erkennen.

Winkeltreue

→ Hauptartikel: Konforme Abbildung

Eine geometrische Abbildung heißt winkeltreu bzw. konform, wenn sie die Größen von Winkeln unverändert lässt. Beispiele für winkeltreue Abbildungen sind alle Kongruenzabbildungen (etwa Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Parallelverschiebung und Drehung), allgemeiner alle Ähnlichkeitsabbildungen, insbesondere die zentrische Streckung.

Bei Winkeltreue (Konformität) ist die Winkelverzerrung null – dann entsprechen alle Winkel in der Abbildung jenen im Urbild. Das Abbild in der Projektion ist dem Urbild in kleinsten Bereichen ähnlich, die Streckenverzerrung somit in alle Richtungen gleich, die Tissot'sche Indikatrix bleibt kreisförmig. Man kann also Richtungen korrekt eintragen, und Distanzen nach einer kleinen Reduktion ebenso.

Da es keine allgemein streckentreue Abbildung einer Kugel oder anderer zweidimensional gekrümmter Flächen in die Ebene gibt, muss man entweder Winkelverzerrungen oder Flächenverzerrungen oder beides in Kauf nehmen. Die Verzerrungen betragen in üblichen regionalen Karten allerdings nur einige Prozent, können jedoch bei globalen Kartendarstellungen auf etwa 30-50 % anwachsen. Um eine Winkeltreue zu erhalten, dehnen Gauß und Krüger alle Ordinaten um

y³ : 6r² (y = Abstand vom Mittelmeridian, r = Erdradius)

Anwendung

Während Winkelverzerrungen bei geographischen Arbeiten weniger eine Rolle spielen (hier ist meist die Flächentreue wichtiger), sind sie bei Darstellung von Messgrößen besonders unangenehm. Daher bevorzugt man Projektionen mit geringen Winkelverzerrungen - bzw. winkeltreue Karten - speziell bei:

• Astronomie und Geometrie
• Navigation und Flugsicherung
• Geodäsie und Vermessungswesen
• Geophysik und Felsmechanik

wichtige winkeltreue Projektionen

• Mercator-Projektion - Zylinderprojektion für die meisten Seekarten
• Lambertsche Schnittkegelprojektion - Kegelprojektionen für die Luftfahrt und Anwendungen in der Geographie
• Gauß-Krüger-Koordinatensystem und UTM-Koordinatensystem - transversale Zylinderprojektion für die Vermessung
• stereografische Projektion - Azimutale Projektion für Astronomie und Geometrie.

siehe auch

• Konforme Abbildung (Geodäsie)
• Klaffung, Kreistreue