Deltoidalikositetraeder

3D-Ansicht eines Deltoidalikositetraeders (Animation)

Das Deltoidalikositetraeder oder Dysdiakisdodekaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 24 Deltoiden zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Rhombenkuboktaeder und hat 26 Ecken sowie 48 Kanten.

In der Kristallographie und Mineralogie wird das Deltoidalikositetraeder oft (verkürzt) als Ikositetraeder bezeichnet, daneben auch als Trapezoeder oder Leucitoeder (es ist die typische Kristallform des Leucits).

Entstehung

• Werden auf die 14 Begrenzungsflächen eines Kuboktaeders quadratische sowie dreieckige Pyramiden mit der Flankenlänge a bzw. b aufgesetzt, entsteht ein allgemeines Deltoidalikositetraeder, sofern $a > \tfrac{e}{2} \sqrt{2}$ und $b > \tfrac{e}{3} \sqrt{3}$ sind. Das einbeschriebene Kuboktaeder hat dabei die Kantenlänge e (d. i. eine Diagonale des Drachenvierecks, s. u.).

• Das spezielle Deltoidalikositetraeder mit der Bedingung $b = \tfrac{a}{7}\,(4+\sqrt{2})$ ist der umbeschriebene Körper dreier zueinander senkrecht stehenden regelmäßiger Achtecke (mit Kantenlänge a), die sich in ihren Ecken schneiden.

• Weiterhin kann das Deltoidalikositetraeder als ein dreifach geschnittener „aufgeblähter“ Würfel angesehen werden, der mit seinen 24 quadratischen Begrenzungsflächen topologisch gleichwertig ist.

Formeln

Nachstehend aufgeführte Formeln gelten ausschließlich für den Spezialfall $b = \frac{a}{7}\,(4+\sqrt{2})$.

Für das Polyeder

Netz des Deltoidalikositetraeders

Größen eines Deltoidalikositetraeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V = \frac{2}{7}\, a^3 \sqrt{292 + 206\sqrt{2}}$
Oberflächeninhalt	$O = \frac{12}{7}\, a^2 \sqrt{61 + 38\sqrt{2}}$
Inkugelradius	$\rho = a\, \sqrt{\frac{22+15\sqrt{2}}{34}}$
Kantenkugelradius	$r = \frac{a}{2} \left(1+ \sqrt{2} \right)$
Flächenwinkel  ≈ 138,12°	$\cos \, \alpha= -\frac{1}{17}\,(7 + 4\sqrt{2})$
3D-Kantenwinkel  = 135°	$\cos \, \gamma = -\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Für das Deltoid

Bemerkenswert bei diesem Drachenviereck – das auch ein Tangentenviereck darstellt – ist die Tatsache, dass 3 der 4 Innenwinkel gleich groß sind, nämlich ≈ 81,6° (s. Abb.).

Größen des Drachenvierecks
Flächeninhalt	$A = \frac{a^2}{14} \sqrt{61 + 38\sqrt{2}}$
Inkreisradius	$r = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{7+4\sqrt{2}}{17}}$
2. Seitenlänge	$b = \frac{a}{7}\,(4+\sqrt{2})$
1. Diagonale	$e = \frac{a}{4} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$
2. Diagonale	$f = \frac{a}{7} \sqrt{46 + 15\sqrt{2}}$
Spitze Winkel (3)  ≈ 81,58°	$\cos \, \alpha = \frac{1}{4}\,(2-\sqrt{2})$
Stumpfer Winkel (1)  ≈ 115,26°	$\cos \, \beta = -\frac{1}{8}\,(2+\sqrt{2})$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Deltoidalikositetraeder. In: MathWorld. (englisch)

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