Beta-prime-Verteilung

Die Beta-prime-Verteilung (auch Beta-Primärverteilung oder Inverse Beta Verteilung genannt) Bp ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, mit zwei Parametern α und β. Es handelt sich um einen Sonderfall der Gamma-Gamma-Verteilung und somit um eine Mischverteilung.

Die Dichtefunktion ist:

$f(x) = \frac{x^{\alpha-1} (1+x)^{-\alpha -\beta}}{B(\alpha,\beta)}$.

Dabei ist B(α, β) die Beta-Funktion.

mit Erwartungswert

$E(X) = \frac{\alpha}{\beta-1} \text{ falls } \beta>1$

Modus

$Mod(X) = \frac{\alpha-1}{\beta+1} \text{ falls } \alpha\ge 1\text{, 0 sonst}\!$

und Varianz

$Var(X) = \frac{\alpha(\alpha+\beta-1)}{(\beta-2)(\beta-1)^2} \text{ falls } \beta>2$

Beziehung zur Gammaverteilung

Ist der zweite Parameter ε der Gammaverteilung G(a,ε) eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung G(b,1) verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Beta-Primärverteilung Bp(a, b) verteilt.

Beziehung zur Gamma-Gamma-Verteilung

Eine Gamma-Gamma-Verteilung Gg(a, b=1, d) entspricht einer Beta-Primärverteilung Bp(α=d, β=a)

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta