Tetrakishexaeder

Tetrakishexaeder
3D-Ansicht eines Tetrakishexaeders (Animation)

Das Tetrakishexaeder (auch Pyramidenwürfel genannt) ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 24 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Oktaederstumpf und hat 14 Ecken sowie 36 Kanten.

Inhaltsverzeichnis

Entstehung

Werden auf alle sechs Begrenzungsflächen eines Würfels quadratische Pyramiden mit der Flankenlänge b aufgesetzt, entsteht ein Tetrakishexaeder, sofern die Bedingung \tfrac{a}{2}\sqrt{2}<b<\tfrac{a}{2}\sqrt{3} erfüllt ist.

  • Für den zuvor genannten minimalen Wert von b haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich der Würfel mit der Kantenlänge a übrig bleibt.
  • Das spezielle Tetrakishexaeder mit uniformen Flächenwinkeln entsteht, wenn b = \tfrac{3}{4}\,a ist.
  • Nimmt b den o. g. maximalen Wert an, entarted das Tetrakishexaeder zu einem Rhombendodekaeder mit der Kantenlänge b.
  • Überschreitet b den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex.

Formeln

Allgemein

Größen eines Tetrakishexaeders mit Kantenlänge a, b
Volumen V = a^2 \left(a + \sqrt{4b^2 - 2a^2}\right)
Oberflächeninhalt O = 6a \sqrt{4b^2-a^2}
Pyramidenhöhe k = \frac{1}{2}\sqrt{4b^2-2a^2}
Inkugelradius \rho  = \frac{a \left(a+\sqrt{4b^2-2a^2}\right)}{2\sqrt{4b^2-a^2}}
Flächenwinkel
 (über Kante a)
 \cos \, \alpha_1 = \frac{2a \sqrt{4b^2-2a^2}}{a^2-4b^2}
Flächenwinkel
 (über Kante b)
 \cos \, \alpha_2 = \frac{a^2}{a^2-4b^2}

Speziell

Größen eines Tetrakishexaeders mit Kantenlänge a
Volumen V = \frac{3}{2}\,a^3
Oberflächeninhalt O = 3a^2 \sqrt{5}
2. Seitenlänge b = \frac{3}{4}\,a
Pyramidenhöhe k = \frac{a}{4}
Inkugelradius \rho = \frac{3}{10}\,a \sqrt{5}
Kantenkugelradius r = \frac{a}{2} \sqrt{2}
Flächenwinkel
 ≈ 143,13°
 \cos \, \alpha = -\frac{4}{5}

Anwendung

  • In der Natur kommt das Tetrakishexaeder z. B. als Kristallform von Fluorit vor.
  • Das Tetrakishexaeder wird auch als Spielwürfel (W24) verwendet.

Weblinks


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