Duodezimalsystem

Das Duodezimalsystem (auch Zwölfersystem) ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Basis Zwölf, ist also das „12-adische Stellenwertsystem“. Das bedeutet: Anders als beim üblichen Dezimalsystem (mit der Basis 10) gibt es 12 Ziffern, so dass erst für natürliche Zahlen ab 12 eine zweite Ziffer benötigt wird.

Verwendung und Geschichte

Die Zahl 12 hatte in vielen Kulturen eine wichtige Bedeutung. Sie gilt als die Zahl der Vollkommenheit. Ein Grund sind vermutlich die 12 Mond-Monate im Jahr. Beispiele der Verwendung der 12 sind die 12 Monate im Jahr, zweimal 12 Stunden pro Tag, 12 Tierkreiszeichen, 12 Zeichen in der chinesischen Astrologie, 12 Sterne auf der Flagge der Europäischen Union (nicht von der Anzahl der Gründungsstaaten abgeleitet). In vielen europäischen Sprachen gibt es eigene Zahlennamen für 11 („elf“) und 12 („zwölf“) anstelle der regelmäßigen Zehnersystem-Namen (wie „zweiundzehn“ oder „zweizehn“). Dies weist wie auch die Verwendung des Begriffes Dutzend auf eine breite Verwendung der Basis 12 in Zahlensystemen hin.

Zusätzlich hat die 12 die Eigenschaft, durch relativ viele Zahlen ganzzahlig teilbar zu sein (1, 2, 3, 4, 6, 12), was die Verwendung als Größeneinteilung (z. B. bei Zoll und Fuß) zur Folge hatte.

Ein kleiner Nachteil gegenüber dem Hexadezimalsystem, den das Duodezimal- mit dem Dezimal- und dem Oktalsystem teilt, ist, dass die Quadratwurzel der Basis keine ganze Zahl ist.

Das Duodezimalsystem wird heute noch in einigen Zusammenhängen verwendet;

im Handelwesen: 1 Dutzend = 12 Stück, 1 Schock = 5 Dutzend, 1 Gros = 12 Dutzend, 1 Maß = 12 Gros

im angelsächsischen Sprachraum bei verschiedenen Maßeinheiten: z. B. 1 Fuß = 12 Zoll

Ansätze, das Dezimalsystem mit zwei zusätzlichen Ziffern zu ergänzen, um allgemein mit dem Duodezimalsystem zu rechnen, konnten sich dagegen nicht durchsetzen.

Duodezimales Zählen mit Fingergliedern

Im gewohnten Dezimalsystem (10er-System) zählt man mit den 10 Fingern (2 mal 5) beider Hände. In einigen Gegenden der Welt existierte aber ein Zählen mit Hilfe der Fingerglieder, das einhändig zur Zahl zwölf, zweihändig sogar zur Zahl 60 führt.^[1] (Siehe ausführlich Ein- und zweihändiges Zählen mit Fingergliedern und Fingern)

Die Tatsache, dass im Deutschen alle Zahlen bis zwölf eigene Namen haben, danach aber die Wörter mit

• zusammengesetzten Zahlennamen (dreizehn, vierzehn …) und
• abgeleiteten Zahlennamen (zwanzig aus zwei, dreißig aus drei, achtzig aus acht, einhundert, eintausend, …)

gebildet werden (wie auch die alten Mengenbegriffe Gros für 144=12*12 und Maß für 1728=12*12*12), begründet die Vermutung, dass dieses Zählsystem auch von früheren Sprechern des Deutschen angewandt wurde.

Das Duodezimalzählsystem an einer Hand ist bezeugt in Indien, Indochina, Pakistan, Afghanistan, im Iran, in der Türkei, im Irak und in Ägypten.

Darstellung von Zahlen

Ziffern

Die Dozenal Society of America (gegr. 1944) schlug zusätzlich zu den Ziffern 0 bis 9 noch X für 10 und E für 11 vor, später dann # für 10. Die Zahl 278 würde dann z. B. als 1E2 (1 · 144 + 11 · 12 + 2 · 1) geschrieben. Die Nachteile davon liegen auf der Hand – weitere gängige Bedeutungen der Zeichenfolge 1E2 sind nämlich

• die Abkürzung der Exponentialschreibweise 1 * 10^2 und
• die Hexadezimalzahl 1E2 = 1 * 256 + 14 * 16 + 2.

Die Dozenal Society of Great Britain (gegr. 1959) bevorzugt stattdessen die um 180 Grad gedrehten Ziffern 2 und 3.

In diesem Artikel verwenden wir die Ziffern # und E für Zehn und Elf.

Ganze und rationale Zahlen

Die Darstellung der Zahlen erfolgt ähnlich wie die Darstellung im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass die Wertigkeit der Ziffern nicht durch die entsprechende Zehnerpotenz, sondern durch die passende Zwölferpotenz bestimmt wird. Beispielsweise stellt die Ziffernfolge 234 nicht (wie im Dezimalsystem) die Zweihundertvierunddreißig dar, sondern die Dreihundertachtundzwanzig, denn im Duodezimalsystem berechnet sich der Wert durch:

$234_{(12)} = 2\cdot 12^2 + 3\cdot 12^1 + 4\cdot 12^0 = 288+36+4=328_{(10)}$

Die Indices weisen dabei auf die verwendete Basis hin.

Duodezimale Brüche sind wie im Dezimalsystem entweder endlich, wie

1/2 = 0,6₍₁₂₎

1/3 = 0,4₍₁₂₎

1/6 = 0,2₍₁₂₎

1/8 = 0,16₍₁₂₎

1/9 = 0,14₍₁₂₎

oder periodisch, wie

1/5 = 0,2497 2497 2497 …₍₁₂₎

1/7 = 0,186#35 186#35 …₍₁₂₎

1/10 = 1/#₍₁₂₎ = 0,1 2497 2497 …₍₁₂₎

Negative Zahlen schreibt man wie im Dezimalsystem mit einem vorangestellte Minuszeichen.

Grundrechenarten

Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Duodezimalzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperation Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Die benötigten Algorithmen sind prinzipiell dieselben, nur werden durch die größere Anzahl von Ziffern das kleine Einmaleins und die Additionstabelle größer.

Umrechnen in andere Stellenwertsysteme

Die ersten natürlichen Zahlen werden im Duodezimalsystem so dargestellt:

Duodezimalsystem	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	#	E	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1#	1E	20
Dezimalsystem	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24

Vom Duodezimalsystem ins Dezimalsystem

Um aus einer Duodezimalzahl eine Dezimalzahl zu erhalten, zählt man die angegebenen Vielfachen der 12er-Potenzen zusammen, berechnet also den Wert der Zahl wie es die Definition des 12-adischen Stellenwertsystems vorgibt:

234₍₁₂₎ = 2 · 12² + 3 · 12¹ + 4 · 12⁰ = 288 + 36 + 4 = 328.

Vom Dezimalsystem ins Duodezimalsystem

Eine Möglichkeit, eine Dezimalzahl ins Duodezimalsystem umzuwandeln, ist die Betrachtung der Divisionsreste die entstehen, wenn die Zahl durch die Basis 12 geteilt wird.

Im Beispiel der 328₍₁₀₎ sähe das so aus:

328: 12 = 27 Rest 4,
 27: 12 = 2 Rest 3,
  2: 12 = 0 Rest 2.

Der zu erreichende Wert ist nun von unten nach oben an den Resten ablesbar: 234₍₁₂₎.

Siehe auch

Römische Zahlendarstellung Abschnitt "Brüche"

Einzelnachweis

1. ↑ Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. Lizenzausgabe Zweitausendund eins Auflage. Campus, Frankfurt am Main 1993 (Originaltitel: Histoire universelle des chiffres, übersetzt von Alexander von Platen), ISBN 978-3-86150-704-8, Das Sexagesimalsystem, S. 69–75 u. 90–92.

Weblinks

• Dozenal Society of America
• Dozenal Society of Great Britain