Gemischte Poisson-Verteilung

Die gemischte Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die als allgemeiner Ansatz für die Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik zu finden ist. Sie verallgemeinert die Poisson-Verteilung.

Definition

Eine Zufallsvariable X genügt der Gemischten Poisson-Verteilung mit der Dichte π(λ), wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

$\operatorname{P}(X=k) = p_\pi(k) = \int\limits_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \,\,\pi(\lambda)\,\mathrm d\lambda$

besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit $q_\lambda(k)\,$ bezeichnen, gilt folglich

$\operatorname{P}(X=k) = p_\pi(k) = \int\limits_{0}^{\infty} q_\lambda(k) \,\,\pi(\lambda)\,\mathrm d\lambda$.

Eigenschaften

• Die Varianz ist immer größer als der Erwartungswert. Diese Eigenschaft nennt man Überdispersion (engl.Overdispersion). Dies ist im Gegensatz zur Poisson-Verteilung, bei der Erwartungswert und Varianz identisch sind.
• In der Praxis werden als Dichten π(λ) nur Dichten von Gamma-Verteilungen, Log-Normalverteilungen und von Inversen Gauß-Verteilungen benutzt.
• Ist π(λ) die Dichte einer Gamma-Verteilung, dann ist die gemischte Poisson-Verteilung eine negative Binomialverteilung.

Im Folgenden sei $\mu_\pi=\int\limits_{0}^{\infty} \lambda \,\,\pi(\lambda)d\lambda\,$ der Erwartungswert der Dichte $\pi(\lambda)\,$, und $\sigma_\pi^2 = \int\limits_{0}^{\infty} (\lambda-\mu_\pi)^2 \,\,\pi(\lambda)d\lambda\,$ die Varianz dieser Dichte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

$\operatorname{E}(X) = \mu_\pi$.

Varianz

Für die Varianz erhält man

$\operatorname{Var}(X) = \mu_\pi+\sigma_\pi^2$.

Standardabweichung

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man die Standardabweichung

$\sigma = \sqrt{\mu_\pi+\sigma_\pi^2}$.

Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

$\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{\mu_\pi+\sigma_\pi^2}{\mu_\pi^2}}$.

Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

$\operatorname{v}(X) = \Bigl(\mu_\pi+\sigma_\pi^2\Bigr)^{-\frac{3}{2}} \,\Biggl[\int\limits_0^\infty(\lambda-\mu_\pi)^3\,\pi(\lambda)\,d{\lambda}+\mu_\pi\Biggr]$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\phi_{X}(s) = m(e^{is}-1)\,$.

Erzeugende Funktion

Für die erzeugende Funktion erhält man

$g_{X}(s) = m(e^s-1)\,$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der gemischten Poisson-Verteilung ist

$m_{X}(s) = m(z-1)\,$.