Gezeitenkraft

Entstehung der Gezeitenkräfte:
Die unterschiedlich großen Pfeile im oberen Bild zeigen die Gravitationskräfte, die durch einen Himmelskörper, der rechts außerhalb des Bildes steht, auf den kugelförmigen Himmelskörper an zwei Stellen der Oberfläche und im Schwerpunkt wirken.
Die Pfeile im unteren Bild zeigen an der Oberfläche die Differenzen zur Gravitationskraft im Schwerpunkt: Das sind die Gezeitenkräfte.

Die Gezeitenkraft auf einen Himmelskörper ist eine der Gravitationskraft, die von einem anderen Himmelskörper ausgeht, nachgeordnete Kraft. Sie ist die Differenz zwischen der an einer beliebigen Stelle des ausgedehnten Himmelskörpers wirkenden und der in seinem Schwerpunkt wirkenden Gravitationskraft. Obwohl sie überall (also auch im Körperinneren) auftritt, ist mit Gezeitenkraft meistens die an der Oberfläche wirkende gemeint. Sie ist an jenen Oberflächenpunkten, die dem anderen Himmelskörper zugewandt oder abgewandt sind, am größten und zeigt dort vom Himmelskörper weg. Meist umkreisen die beiden Körper einander, sie bilden ein Zweikörpersystem.

Die Gezeitenkraft hat ihren Namen von den als "maritime Gezeiten" erkennbaren Wirkungen auf die Erde. Hier bildet die Erde mit dem Mond und mit der Sonne ein Dreikörpersystem. Den größeren Anteil an dieser Gezeitenwirkung hat der Mond.

Die Gezeitenkraft tritt zwischen allen Himmelskörpern auf, hat aber nur bei großen Körpern oder in Gravitationsfeldern mit hohem Gradienten merkliche Auswirkungen. An Wechselwirkungen zwischen Planeten und ihrem Zentralgestirn ist sie unmittelbar erkennbar, unter Sternen oder zwischen Galaxien lässt sie sich theoretisch angeben, wobei größere Zeiträume berücksichtigt werden müssen.

Entstehung und Größe der Gezeitenkraft

Bezugssystem außerhalb des betrachteten Himmelskörpers

Anstatt der Gezeitenkraft wird im Folgenden die Gezeitenbeschleunigung a_g quantitativ angegeben, die eine Masse M auf einen im Abstand r befindlichen Himmelskörper mit dem Durchmesser 2R verursacht. Diese beträgt ungefähr:

$a_g \approx 2R\frac{GM}{r^3}$ .

Herleitung:

Die Gravitationbeschleunigung a eines Körpers in einem äußeren Gravitationsfeld der Masse M ist gegeben durch

$a = \frac{GM}{r^2}$

mit der Gravitationskonstante G und dem Abstand r des Körperschwerpunktes zu M.

Auf ein Massenelement auf der Körperoberfläche (Abstand R vom Schwerpunkt), der Einfachheit halber auf der Verbindungslinie zwischen Körperschwerpunkt und der Masse liegend, die das Gravitationsfeld erzeugt, wirkt die Beschleunigung

$a = \frac{GM}{(r\pm R)^2}$.

Dabei gehört r+R zum Punkt auf der der Masse abgewandten Seite, r-R zu dem auf der ihr zugewandten.

Da die Bewegung dieses Massenelements jedoch auf die Bewegung des Körperschwerpunktes zu beziehen ist, erfährt es folgende Relativbeschleunigung (die Gezeitenbeschleunigung a_g):

$a_g = \frac{GM}{(r\pm R)^2} - \frac{GM}{r^2}= \frac{GM}{r^2} \left(\frac{1}{(1\pm R/r)^2} - 1 \right) \approx \frac{GM}{r^2} ((1\mp 2R/r) -1) = \mp 2R\frac{GM}{r^3}$.

Die Näherung folgt aus der Reihenentwicklung um R/r=0 (R<<r) und Abbruch nach dem linearen Glied von

$\frac{1}{(1\pm R/r)^2} = 1 \mp 2R/r + 3(R/r)^2 \dots$.

Die Gezeitenbeschleunigung weist auf beiden Seiten vom Körperschwerpunkt weg. Sie ist aber auf beiden Seiten nicht ganz gleich groß, was leicht zu erkennen ist, wenn man die Herleitung der Formel vor der oben angewandten Näherung abbricht.

Je näher ein Planet einer Gravitationsquelle kommt, desto mehr wird er in ein Ellipsoid verformt.
Die bogenförmige Markierung ist die Roche-Grenze.

Die anschauliche Wirkung der beidseits vom Körperschwerpunkt wegweisenden Gezeitenbeschleunigung ist die Verformung des Körpers zu einem Ellipsoid.

Die Gezeitenkraft skaliert mit der dritten Potenz des Abstandes vom Gravitationszentrum und fällt schneller ab als die Gravitationskraft, die quadratisch skaliert. Dies führt zum Beispiel dazu, dass die Gezeitenkräfte des viel näheren Mondes auf die Erde größer sind als die der Sonne, obwohl diese die etwa 175-fache Gravitationskraft auf die Erde ausübt. Im Vergleich zum Mond verursachen die Sonne und einige Planeten folgende Gezeitenwirkungen auf der Erde:

Himmelskörper	Rel. Kraft	Auslenkung
Mond	1	30 cm
Sonne	0,45	14 cm
Venus in unterer Konjunktion	5·10-5	17 µm
Jupiter	6·10-6	2 µm
Mars in Opposition	2·10-6	0,5 µm
Mars in Konjunktion	1·10-8	3 nm

Die tabellierte Auslenkung ist der Anstieg des Wasserspiegels auf dem offenen Meer.

Andererseits nimmt die Gezeitenkraft proportional mit der Ausdehnung des Körpers, auf den sie einwirkt, zu. Das ist zum Beispiel wichtig bei der Einschätzung der Gezeitenwirkung auf die äußerste Atmosphäre eines Planeten, die sich bis weit in den Raum erstrecken kann. In manchen Betrachtungen werden auch starre Modelle ausgedehnter Systeme gebildet. Beispiel: Nimmt man das Zweikörper-System Erde-Mond als starres rotierendes Gebilde unter dem Einfluss der Sonne an, dann wirkt die von der Sonne verursachte Gezeitenkraft auf ein System mit Radius 380.000 km ein.

Ein steiles Gravitationspotential, wie es in der Nähe kleiner, sehr massiver Objekte (Schwarzes Loch, Neutronenstern) auftritt, bewirkt auch starke Gezeitenkräfte.

Betrachteter Himmelskörper als Bezugssystem

Erde und Mond kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, der sich innerhalb der Erde befindet (sonst nicht maßstabsgetreue Illustration)

Die nicht rotierend gedachte Erde kreist um ihren mit dem Mond gemeinsamen Schwerpunkt: Alle Orte auf ihr sind der gleichen Fliehkraft (blaue Strecken) unterworfen.

Die Gravitationskraft auf den Himmelskörper ist die Radialkraft, die seine Bewegung auf einer Kreisbahn (allgemein: auf gekrümmter Bahn) bewirkt. Auf dem umlaufenden Himmelskörper wird zweckmäßig die Zentrifugalkraft eingeführt, die mit der eingeprägten Gravitationskraft das Gleichgewicht (actio gleich reactio) herstellt.^[1] Beim Kreisen des Himmelskörpers (Abbildung links) um den mit dem zweiten Himmelskörper gemeinsamen Schwerpunkt (Baryzentrum) entsteht in jedem seiner Punkte eine Zentrifugalkraft von gleichem Betrag (Abbildung rechts: Umlaufen ohne Rotation, auch Revolution genannt). Diese Kraft ist immer vom zweiten Himmelskörper weg gerichtet.

Die quantitative Beschreibung ist bei dieser Betrachtungsweise mit der oben angeführten identisch, denn die Zentrifugalkraft hat den gleichen Wert wie die dort im Vergleich enthaltene mittlere Gravitationskraft. Diese Art der Betrachtung hat lediglich einen anschaulichen Vorteil. Man bildet an den betreffenden Oberflächenstellen Bilanzen rein dort lokalisierter Kräfte, denn die Zentrifugalkraft ist dort auch vorhanden. Das “naive” Verständnis, dass durch Anziehung des Mondes auf der ihm abgewandten Seite keine Kraft in Gegenrichtung entstehen könne, wird dadurch nicht strapaziert, denn auf der dem Mond abgewandten Seite ist dessen Anziehung nur kleiner, wird aber von der in Gegenrichtung wirkenden Zentrifugalkraft übertroffen.

Roche-Grenze

Hauptartikel: Roche-Grenze

Ist der Abstand eines Trabanten zu seinem Zentralkörper sehr gering, so werden die Gezeitenkräfte sehr stark.

Um die Stabilität eines Körpers zu untersuchen, betrachtet man die Gezeitenkräfte im Vergleich zu den Gravitationskräften, die den Körper selbst zusammenhalten. Die Stabilitätsgrenze ist hierbei erreicht, wenn die Gezeitenkräfte größer werden als die Gravitationskräfte, wobei man zur Abschätzung den Trabanten in zwei Teilkörper unterteilt, mit jeweils der halben Trabantenmasse $\mathcal{M}_t/2$ in einem Abstand, der seinem Radius r_t entspricht:

$G \frac{\mathcal{M}_t^2}{4R_t^2} \ge cG \frac{\mathcal{MM}_t}{r^3} \cdot R_t$,

mit dem Abstand r von der Zentralmasse $\mathcal{M}$, c ist hierbei eine Konstante von der Größenordnung 1. Mit den mittleren Dichten ρ und ρ_t des Zentralkörpers und des Trabanten, sowie dem Radius R des Zentralkörpers erhält man

$\frac{r}{R} \ge (4c)^{1/3} \left( \frac{\rho}{\rho_t} \right)^{1/3}$.

Eine genauere Rechnung ergibt

$\frac{r}{R} \ge 2{,}44 \left( \frac{\rho}{\rho_t} \right)^{1/3}$.

Bei einem Abstand von weniger als dem 2,44-fachen des Radius seines Zentralkörpers wird ein Trabant mit gleicher Dichte durch die Gezeitenkräfte auseinander gerissen bzw. kann sich gar nicht erst bilden. Dieser Abstand wird nach Édouard Albert Roche, der diese Abschätzung erstmals durchgeführt hat, Roche-Grenze genannt.

Diese Überlegungen gelten für größere Körper, die durch ihre eigene Schwerkraft zusammengehalten werden (siehe Zwergplanet). Bei kleineren Körpern überwiegt die Stabilität durch Kohäsionskräfte. Bei künstlichen Satelliten spielt der Zusammenhalt durch die eigene Gravitation überhaupt keine Rolle.

Kosmische Beispiele

Die Saturnringe liegen zum großen Teil innerhalb der Roche-Grenze des Saturn. Dies ist neben den Hirtenmonden, deren Stabilität durch innere Kohäsionskräfte erhöht wird, der Hauptgrund für die Stabilität des Ringsystems.

Komet Shoemaker-Levy 9

Der Komet Shoemaker-Levy 9 passierte im Juli 1992 den Planeten Jupiter und zerbrach dabei in 21 Fragmente zwischen 50 und 1000 m Größe, die sich auf einer mehrere Millionen Kilometer langen Kette aufreihten. Zwischen dem 16. und dem 22. Juli 1994 schlugen diese Bruchstücke dann auf Jupiter auf.

Bei engen Begegnungen von Sternen mit einem Abstand, der geringer ist als die Roche-Grenze, werden diese in einer so genannten Sternkollision stark verändert, meist wird der kleinere zerrissen.

Auf der Erde führen die Gezeiten in den Meeren zu Ebbe und Flut. Die Gezeiten wirken jedoch auch auf den Erdmantel selbst, so dass auch die Kontinente selbst den Gezeiten mit einer Verzögerung von zwei Stunden folgen, allerdings ist der Effekt mit Vertikalbewegungen von 20 bis 30 Zentimeter deutlich geringer als die mehrere Meter hohen Tiden der Meere.

Durch die Gezeiten in großen Meeren können durch den Tidenhub lokal sehr starke Strömungen entstehen. Die dabei vorhandene kinetische Energie kann mittels eines Gezeitenkraftwerks genutzt werden.

Gezeitenreibung

Die Gezeitenkräfte bremsen die Rotation der beteiligten Körper, dabei wird der Rotations-Drehimpuls aufgrund der Drehimpulserhaltung auf den Bahndrehimpuls des Mondes übertragen. Der Mechanismus dazu ist folgender: Durch die Gezeitenkräfte kommt es zu einer Verformung des Zentralkörpers (Gezeitenberge, d.h. Flutwellen auf der Erde, aber auch die Verformung der festen Erdoberfläche infolge der Gezeiten). Wenn der Planet schneller rotiert, als der Mond umläuft, bewegen sich diese Gezeitenberge immer "vor" dem Mond. Das ist eine Folge der Trägheit der Massen auf dem Zentralkörper (im allgemeinen Sinn, nicht nur Massenträgheit im Sinne von Impulserhaltung). Diese vorlaufenden Gezeitenberge verursachen eine Komponente in der Gravitationskraft, die auf den Mond in Vorwärtsrichtung einwirkt ("Vorwärts" im Sinne des Mondumlaufs). Die so zugeführte Energie wird sofort in potenzielle Energie umgesetzt, wodurch der Mond langsam aber sicher eine höhere und langsamere Umlaufbahn einnimmt.

Eine Gezeitenreibung tritt umgekehrt auch auf dem umlaufenden Mond ein.

Dieser Effekt führt schließlich zu einer gebundenen Rotation des kleineren Körpers, wie es z. B. beim Erdmond der Fall ist. Kommt es bei beiden Körpern zu einer gebundenen Rotation, so spricht man von Korotation.

Als weiterer Effekt vergrößert sich, wenn Bahndrehimpuls und Rotation die gleiche Richtung besitzen, der Abstand der beiden Körper, wenn die Rotation des größeren Körpers schneller als der Umlauf des kleineren Körpers ist. Sind Bahndrehimpuls und Rotation entgegengerichtet, was vor allem bei eingefangenen Körpern auftreten kann, oder umrundet der kleinere Körper den größeren schneller als dieser rotiert, wird der Abstand hingegen verringert.

In einer genaueren Analyse müssen Energie und Drehimpuls in diesem Prozess separat bilanziert werden, da es für beide Größen in der Physik jeweils einen Erhaltungssatz gibt. Die folgenden Erläuterungen gehen zwecks besserer Verständlichkeit von einem isolierten Planet - Mond System aus. Das ist kein vollständiges Modell, da es andere Planeten, die Sonne (Zentralstern) und andere äußere Einflüsse geben kann, die dieses System stören würden (siehe auch Störungstheorie (Klassische Physik)).

Energieerhaltung: Der Planet verliert Rotationsenergie durch Reibung bei der kontinuierlichen Bildung der Gezeitenberge (Verformung des Planeten auf Grund der Gezeitenkraft), und durch die Übertragung von Energie auf den Mond infolge der Gravitationswirkung der Gezeitenberge. Diese Energie findet sich in der Rotationsenergie des Mondes, einer Erwärmung (Wärmeenergie) der Erde durch Reibung, den Strömungen im Erdinneren (kinetische Energie, Geodynamo) und den durch einen MHD-Prozess ausgelösten Veränderungen im Magnetfeld der Erde wieder.

Drehimpulserhaltung: Der Drehimpulsverlust bei der Abbremsung der Erdrotation wird auf den Drehimpuls des Mondes in seinem Orbit um die Erde (Bahndrehimpuls), auf den Drehimpuls von Strömungen im Erdinneren, und auf das Erdmagnetfeld (elektromagnetisches Feld) der Erde übertragen.

Welche dieser Energie- oder Drehimpulsformen für ein bestimmtes Planet-Mond-System von Bedeutung sind, hängt von den Umständen ab. Da es sich allgemein um Prozesse aus dem Gebiet der Magnetohydrodynamik unter dem Einfluss der Gravitation handelt, ist die Aufgabenstellung in der Regel nicht trivial.

Für exotische Konstellationen muss eventuell berücksichtigt werden, dass auch Elementarteilchen Energie und Drehimpuls tragen können (Teilchenstrahlung).

Auswirkungen, zusammengefasst

• Die Gezeitenkräfte auf die Erde führen zu den maritimen Gezeiten , woher ihr Name stammt. Der nahezu starre Erdkörper bleibt dabei weitestgehend unbeeinflusst. Deutlich ist die Beschleunigung des beweglichen Wassers an seiner Oberfläche.
• Durch Gezeitenkräfte verformen sich Himmelskörper, sie werden leicht in Richtung der Gravitation in die Länge gezogen. Rotiert der Himmelskörper, so wird er dabei "durchgewalkt", ähnlich wie ein platter Reifen am Auto. Dadurch wird Rotationsenergie in Wärme umgewandelt; die Rotation verlangsamt sich dadurch so lange, bis sich eine gebundene Rotation einstellt. Der Erdmond weist der Erde aufgrund dieses Effektes bereits immer die gleiche Seite zu. Beim Jupitermond Io sind es Gezeitenkräfte, die die Wärmeenergie für den Vulkanismus erzeugen.
• In Doppelsternsystemen können Gezeitenkräfte einen Materiefluss von einem Stern zum anderen verursachen, was in bestimmten Fällen zu Supernovae (Typ 1) führen kann.
• Sind die Gezeitenkräfte stärker als die Kräfte, die ein Objekt zusammenhalten, so können sie auch zum Zerreißen des Objekts führen, so geschehen beim Kometen Shoemaker-Levy  9 ( siehe Roche-Grenze).

Weblinks

• Die Gezeiten
• N. Gasch: Rhythmen des Mondes – Geologische Zeugnisse aus alter Zeit
• www.nordwestreisemagazin.de/ebbeflut.htm Die Gezeiten an der Nordseeküste
• Gezeiten-Simulation

Einzelnachweise

1. ↑ Alfred Recknagel: “Die Zentrifugalkraft ist eine Trägheitskraft, die in einem rotierenden Bezugssystem eingeführt werden muss, wenn das Trägheitsgesetz gelten soll. Bei Körpern, die im bewegten System ruhen, verschwindet die Summe aus eingeprägter Kraft und der radial nach außen wirkenden Zentrifugalkraft.”, Physik - Mechanik, Verlag Technik, 1955, S. 245