Messbare Abbildung

Eine messbare Funktion ist in der Mathematik definiert als eine Funktion f aus einem Messraum $(X_1,\mathcal{A}_1)$ in einen anderen Messraum $(X_2,\mathcal{A}_2)$, die der Bedingung genügt, dass $\forall A \in \mathcal{A}_2:\ f^{-1}(A) \in \mathcal{A}_1$, und somit das Urbild jeder messbaren Teilmenge aus X₂ eine messbare Teilmenge von X₁ ist. Eine solche Funktion wird auch als $\mathcal{A}_1$-$\mathcal{A}_2$-messbar bezeichnet.

Speziell bezeichnet messbare Funktion in der Analysis eine Funktion $f\colon \R^n \to \R$, bei der das Urbild von Borelmengen eine Lebesgue-messbare Menge ist. Ein äquivalentes Kriterium ist, dass für jedes $a \in \R$ die Menge $f^{-1}((-\infty,a])$ eine Lebesgue-messbare Menge ist.

(Eine Teilmenge eines Messraums heißt messbar, wenn sie Element der σ-Algebra des Messraums ist und ihr somit ein Maß zugeordnet werden kann.)

Einordnung

Der Begriff der Messbarkeit wird durch die Definition der Integration von Henri Lebesgue motiviert: Für die Lebesgue-Integration einer Funktion $f\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ bezüglich des Lebesgue-Maßes muss Mengen der Form f ^{− 1}([a,b]) ein Maß zugeordnet sein. Beispiele für Funktionen, für die dies nicht möglich ist, sind Indikatorfunktionen von Vitali-Mengen. Die Definition der Lebesgue-Integration für beliebige Maßräume führt dann zu obiger Definition der messbaren Funktion.

Der Begriff der messbaren Funktion hat Parallelen zur Definition der stetigen Funktion. Eine Funktion zwischen topologischen Räumen X₁ und X₂ ist stetig, wenn die Urbilder offener Mengen von X₂ wiederum offene Mengen von X₁ sind. Die von den offenen Mengen erzeugte σ-Algebra ist die Borel-σ-Algebra. Eine stetige Funktion ist also messbar bezüglich der Borel-σ-Algebren von X₁ und X₂, kurz borel-messbar. Eine gewisse Umkehrung dieser Aussage ist der Satz von Lusin.

Messbare Funktionen spielen als Zufallsvariablen eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Eigenschaften

Indikatorfunktionen von messbaren Mengen und Linearkombinationen solcher Funktionen (sogenannte einfache Funktionen) sind Beispiele messbarer Funktionen von einem Maßraum in die reellen Zahlen, ausgestattet mit der Borel-σ-Algebra.

Die Verkettung messbarer Funktionen ist wieder eine messbare Funktion, ganauer: ist f $\mathcal{A}_1$-$\mathcal{A}_2$-messbar und g $\mathcal{A}_2$-$\mathcal{A}_3$-messbar, so ist g o f $\mathcal{A}_1$-$\mathcal{A}_3$-messbar. Die Verkettung zweier reeller Funktionen, unter denen jeweils Urbilder von Borelmengen lebesguemessbare Mengen sind, ist dagegen nicht zwangsläufig lebesguemessbar.

Jede messbare Funktion in einen separablen, metrischen Raum ist punktweiser Limes von Elementarfunktionen, d.h. messbaren Funktionen mit endlichem Bild. Diese Eigenschaft, punktweiser Limes von Elementarfunktionen zu sein, wird auch „stark messbar“ genannt.

1. Jede stark messbare Funktion in einen metrischen Raum ist auch in obigem Sinne messbar. Umgekehrt muss das nicht gelten.
2. Einige Autoren verwenden die starke Messbarkeit als Definition. Das macht nur dann einen Unterschied, wenn als Wertebereiche auch nicht-separable Räume betrachtet werden (z.B. bei der Definition von verallgemeinerten Integralen wie dem Bochner-Integral)

Werden die σ-Algebren $\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2$ von den Mengen $\mathcal{S}_1$ und $\mathcal{S}_2$ erzeugt; also $\mathcal{A}_i=\sigma(\mathcal{S}_i)$, dann genügt es, die Messbarkeit von f für alle $U\in\mathcal{S}_2$ zu zeigen.

Für eine Abbildung f von einem Messraum $(X,\mathcal{A})$ nach $\mathbb{R}$ gilt somit, dass f genau dann messbar ist, wenn eines der Mengensysteme

• $\{f \leq a\}, a\in\mathbb{R}$,
• $\{f < a\}, a\in\mathbb{R}$,
• $\{f \geq a\}, a\in\mathbb{R}$,
• $\{f > a\}, a\in\mathbb{R}$

in $\mathcal{A}$ liegt (wenn als σ-Algebra auf $\mathbb{R}$ die Borelsche σ-Algebra genommen wird). Dabei ist $\{f \leq a\}$ etc. als Abkürzung für $\{x\in X | f(x)\leq a\}=f^{-1}((-\infty,a])$ zu verstehen. Es würde auch ausreichen, wenn das a nur alle rationalen Zahlen durchläuft.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4. Auflage, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2.
• Henri Lebesgue: Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives. Gauthier-Villars, Paris 1904.