3-Sphäre

Unter einer Sphäre versteht man in der Mathematik die Verallgemeinerung der Kugeloberfläche auf beliebig viele Dimensionen. Definitiongemäß besteht die Sphäre nur aus der verallgemeinerten Oberfläche. Verallgemeinerte Vollkugeln werden in der Mathematik Ball oder Kugel genannt.

Sprechweise und Notation

Die n-dimensionale Sphäre (oder kurz n-Sphäre) ist die Oberfläche einer (n + 1)-dimensionalen Kugel. Sie wird mit Sⁿ bezeichnet. Die Dimension einer n-Sphäre ist intrinsisch zu verstehen: Eine 2-Sphäre kann man sich zwar im 3-dimensionalen Raum vorstellen, sie ist jedoch (lokal) durch 2-dimensionale Karten beschreibbar.

Die n-dimensionale Kugel wird n-Kugel genannt und mit Dⁿ (nach dem englischen disk, Scheibe) bezeichnet. Man unterscheidet abgeschlossene Kugeln (mit Oberfläche oder Rand) und offene Kugeln (ohne die Oberfläche oder den Rand). Diese Sprechweise entspricht der Sprechweise bei Mengen oder Intervallen.

Der Radius der Sphären und Kugeln ist vereinbarungsgemäß 1; genaugenommen müsste man hier allerdings von Einheitssphären und Einheitskugeln sprechen.

Volumen und Oberfläche

Das Volumen der n-dimensionalen Kugel vom Radius R beträgt

$\ V_n={\pi^\frac{n}{2}R^n\over\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$,

wobei Γ die Gammafunktion ist. Für gerade Dimension n gilt Γ(n / 2 + 1) = (n / 2)!.

Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass das Volumen der Einheitskugel (also der Kugel vom Radius R = 1) in Abhängigkeit von der Raumdimension n bis n = 5 zunächst zunimmt um dann wieder abzufallen – und sogar für $n \to \infty$ gegen 0 zu gehen:

Dimension	Volumen der Einheitskugel	Näherung
1	2	2,00
2	π	3,14
3	$\frac{4 \pi}{3}$	4,19
4	$\frac{\pi^2}{2}$	4,93
5	$\frac{8 \pi^2}{15}$	5,26
6	$\frac{\pi^3}{6}$	5,17
7	$\frac{16 \pi^3}{105}$	4,72
12	$\frac{\pi^6}{720}$	1,34
25	$\frac{8192 \pi^{12}}{7905853580625}$	0,00096

Die Oberfläche dieser Kugel, also die Fläche der (n−1)-Sphäre, beträgt

$\ S_{n-1}=\frac{\mathrm{d}V_n}{\mathrm{d}R}=\frac{n V_n}{R}={2\pi^\frac{n}{2}R^{n-1}\over\Gamma(\frac{n}{2})}$.

Der Abstand jedes Punktes auf der Oberfläche zum Zentrum ist immer gleich groß, nämlich der Radius R.

Topologische Sphären

In der Topologie versteht man unter einer n-Sphäre eine topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur oben beschriebenen Sⁿ ist. Topologisch betrachtet ist beispielsweise die Oberfläche eines Würfels eine 2-Sphäre.

Man erhält eine topologische n-Sphäre, indem man die Ränder zweier n-Kugeln orientierungsumkehrend miteinander verklebt.

Beispiele

• Die 1-Kugel D¹ ist das Intervall [-1,1]. Dementsprechend besteht die 0-Sphäre S⁰ nur aus den beiden Punkten +1 und -1. Sie ist als einzige Sphäre nicht zusammenhängend.

• Die 2-Kugel D² ist die Kreisscheibe mit Radius 1 in der Ebene. Die 1-Sphäre S¹ ist die Einheitskreislinie, also der Rand des Einheitskreises. Die Einheitskreislinie ist zusammenhängend, aber nicht einfach zusammenhängend. Sie lässt sich durch komplexe Zahlen vom Betrag 1 beschreiben.

• Die 3-Kugel D³ ist die Vollkugel. Die 2-Sphäre S² ist die Oberfläche der Einheitskugel. Sie ist einfach zusammenhängend – wie alle höherdimensionalen Sphären. Sie wird durch Kugelkoordinaten beschrieben.

Die 3-Sphäre

Die 3-Sphäre S³ ist nicht mehr anschaulich vorstellbar. Sie ist eine 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit im 4-dimensionalen Raum $\mathbb R^4$. Eine mathematisch besonders elegante Beschreibung der S³ ist durch die Quaternionen vom Betrag 1 gegeben.

Aussagen und Vermutungen über Sphären

Poincaré-Vermutung

Die Poincaré-Vermutung lautet:

Jede geschlossene einfach zusammenhängende 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre

Darüber hinaus gibt es noch eine Verallgemeinerung der Vermutung, auf n-dimensionale Mannigfaltigkeiten in der folgenden Form:

Jede geschlossene n-Mannigfaltigkeit mit dem Homotopietyp einer n-Sphäre ist zur n-Sphäre homöomorph.

Für den Fall n=3 stimmt diese verallgemeinerte Vermutung mit der ursprünglichen Poincaré-Vermutung überein. Für den Fall n > 4 wurde sie 1960 von Stephen Smale bewiesen.

Der russische Mathematiker Grigori Perelman bewies die Poincaré-Vermutung im Jahre 2002, wofür ihm die Fields-Medaille zuerkannt wurde. Diese lehnte er jedoch ab.

Differenzierbare Strukturen

Der US-amerikanische Mathematiker John Milnor fand zusammen mit dem Schweizer Mathematiker Michel Kervaire als erster heraus, dass die 7-Sphäre S⁷ 15 verschiedene differenzierbare Strukturen (28 bei Berücksichtigung der Orientierung) hat.

Topologische Gruppen

Die einzigen Sphären, die gleichzeitig eine Gruppenstruktur haben und damit eine topologische Gruppe bilden, sind die 0-, 1- und die 3-Sphäre. Dabei entspricht der 0-Sphäre die Gruppe $\mathbb Z/2\mathbb Z$, der 1-Sphäre S¹ die Lie-Gruppe U(1) und der 3-Sphäre S³ die Lie-Gruppe SU(2).

Die 7-Sphäre ist zwar keine topologische Gruppe, aber sie ist eine echte Moufang-Loop, da sie durch die Oktonionen mit dem Betrag 1 beschrieben werden kann.

Parallelisierbarkeit

Die 1-, 3- und 7-Sphäre sind die einzigen Sphären, die parallelisierbar sind. Diese Ausnahmestellung hängt mit der Existenz der Divisionsalgebren zusammen.