Flächenintegral

Das Oberflächenintegral oder Flächenintegral ist eine Verallgemeinerung des Integralbegriffes auf ebenen oder gekrümmten Flächen. Integrationsgebiet $\mathcal F$ ist also nicht ein eindimensionales Intervall, sondern eine zweidimensionale Menge im dreidimensionalen Raum $\mathbb R^3$. Für eine allgemeinere Darstellung im $\mathbb R^n$ mit $n \geq 2$ siehe: Integration auf Mannigfaltigkeiten.

Es wird generell zwischen einem skalaren und einem vektoriellen Oberflächenintegral unterschieden, je nach Form des Integranden und des sogenannten Oberflächenelements. Sie lauten

$\iint_{\mathcal F} f\, \mathrm d\sigma$ mit skalarer Funktion f und skalarem Oberflächenelement dσ sowie

$\iint_{\mathcal F} \vec{v}\cdot \mathrm d\vec{\sigma}$ mit vektorwertiger Funktion $\vec{v}$ und vektoriellem Oberflächenelement $\mathrm d \vec{\sigma}$.

Begriffe und Definitionen

Bei der Integration über Flächen treten Parametrisierungen der Fläche an die Stelle der Integrationsvariable und Oberflächenelemente an die Stelle der infinitesimalen (unendlich kleinen) Intervallbreite dx.

Parametrisierung

Als zweidimensionale Menge lässt sich eine Oberfläche als Funktion von zwei Variablen darstellen (parametrisieren). Ist $B \subset \mathbb R ^2$ eine Menge, deren Rand keine doppelten Punkte enthält, stetig differenzierbar, nicht unendlich lang und ferner $\varphi$ eine Abbildung von B in den $\mathbb R^3$ ist, so sagt man, $\varphi$ ist Parametrisierung der Fläche $\mathcal F$, wenn $\mathcal F = \varphi(B)$ ist.

Allgemein lässt sich eine Fläche im $\mathbb{R}^{3}$ mit zwei Parametern u und v in folgender Form darstellen:

$\varphi :B\to \mathbb{R}^{3},\quad \left( u,v \right)\mapsto \vec{\varphi}\left( u,v \right)=\left( \begin{matrix} x\left( u,v \right) \\ y\left( u,v \right) \\ z\left( u,v \right) \\ \end{matrix} \right)$

• Beispiel 1: Die Oberfläche einer Kugel mit Radius R lässt sich wie folgt parametrisieren: B ist das Rechteck $[0, \pi] \times [0, 2\pi]$ und

$\vec{\varphi}(u,v) = \begin{pmatrix} R \sin(u)\cos(v) \\ R \sin(u)\sin(v) \\ R \cos(u)\end{pmatrix}$.

Man rechnet leicht nach, dass diese Parametrisierung die Kugelgleichung x² + y² + z² = R² erfüllt (siehe auch Kugelkoordinaten). u ist hier der Polarwinkel (meist $\vartheta\,$ oder $\theta\,$) und v der Azimutwinkel (meist $\varphi\,$ oder $\phi\,$ bezeichnet).

• Beispiel 2: Ist $f:B\to \mathbb{R},\ \left( x,y \right)\mapsto f\left( x,y \right)$ eine Funktion und die Fläche in der Form z = f(x,y) angegeben so sind x und y die beiden Parameter; die Parametrisierung der Fläche sieht also wie folgt aus:

$\vec{\varphi} \left( x,y \right)=\left( \begin{matrix} x \\ y \\ f\left( x,y \right) \\ \end{matrix} \right)$

Auf der Fläche $\vec{\varphi} \left( u,v \right)$ bilden die Kurvenscharen u = const bzw. v = const die Koordinatenlinien. Diese überziehen die Fläche mit einem Koordinatennetz, wobei durch jeden Punkt zwei Koordinatenlinien verlaufen. Somit hat jeder Punkt auf der Fläche eindeutige Koordinaten $\left( u_0, v_0 \right)$.

Oberflächenelement

Wenn im eindimensionalen Fall das dx die Breite eines unendlich kleinen Intervalls darstellt, so liegt es nahe, es im zweidimensionalen Fall durch die Fläche eines unendlich kleinen Flächenstückes dσ zu ersetzen. Durch die im vorhergehenden Abschnitt beschriebene Parametrisierung kann man an jeden Punkt der Oberfläche zwei Tangenten legen: Einmal die Tangente, die entsteht, wenn man v konstant lässt und u minimal variiert, und einmal mit vertauschten Variablen. Das heißt also zwei Tangenten an die beiden Koordinatenlinien im betrachteten Punkt $\left( u_0, v_0 \right)$. Diese Tangenten lassen sich durch zwei infinitesimale Tangentenvektoren ausdrücken (sei $\vec{\varphi}\left( u,v \right)$ die parametrische Form der Fläche):

$\left.\frac{\partial\vec{\varphi}}{\partial u}\right|_{u_{0},v_{0}}\mathrm{d}u$   und   $\left.\frac{\partial\vec{\varphi}}{\partial v}\right|_{u_{0},v_{0}}\mathrm{d}v$

Im Folgenden wird die kompakte Schreibweise für die partiellen Ableitungen verwendet:

$\vec{\varphi}_{u}=\frac{\partial \vec{\varphi}}{\partial u}$   und   $\vec{\varphi}_{v}=\frac{\partial \vec{\varphi}}{\partial v}$

Sind diese Tangenten in keinem Punkt der Fläche parallel, so spricht man von einer regulären Parametrisierung. Das Kreuzprodukt der Tangentenvektoren ist dann ein Vektor, dessen Länge ungleich Null ist.

$\left|\left| \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \right|\right| \neq 0$

Die beiden Tangentenvektoren liegen in der Tangentialebene der Fläche am betrachteten Punkt. Der Flächeninhalt des von beiden Tangentenvektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht nun gerade dem Betrag ihres Kreuzproduktes.

Ist nun $\vec{\varphi}(u,v)$ eine reguläre Parametrisierung der Oberfläche, so definiert man:

• Skalares Oberflächenelement  

$\mathrm d \sigma = \left|\left| \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \right|\right| \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v$

• Vektorielles Oberflächenelement  

$\mathrm d \vec{\sigma} = \hat{n} \ \mathrm d \sigma = \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \ \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v$     mit dem Einheitsnormalenvektor des Flächenelements     $\hat{n} = \frac{\vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v}{\left|\left| \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \right|\right|}$

Gemäß den Eigenschaften des Kreuzprodukts steht das vektorielle Oberflächenelement senkrecht auf der Fläche, sein Betrag entspricht gerade der Größe des infinitesimalen Flächenstücks.

In der oben vorgestellten Form ist das vektorielle Oberflächenelement nicht wohldefiniert, da seine Richtung davon abhängt ob man $\vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v$ oder $\vec{\varphi}_v \times \vec{\varphi}_u = - \left( \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \right)$ berechnet. Die beiden Möglichkeiten sind antiparallel zueinander. Betrachtet man geschlossene Oberflächen, vereinbart man meist, dass das nach außen weisende vektorielle Oberflächenelement zu verwenden ist.

• Beispiel 1: Die Oberfläche der Kugel mit Radius R kann, wie oben gezeigt, durch den Polarwinkel u und den Azimutwinkel v parametrisiert werden. Das Flächenelement ergibt sich aus folgender Rechnung:

$\begin{align} & \vec{\varphi}=R\left( \begin{matrix} \sin u\ \cos v \\ \sin u\ \sin v \\ \cos u \\ \end{matrix} \right),\quad \vec{\varphi}_{u}=R\left( \begin{matrix} \cos u\ \cos v \\ \cos u\ \sin v \\ -\sin u \\ \end{matrix} \right),\quad \vec{\varphi}_{v}=R\left( \begin{matrix} -\sin u\ \sin v \\ \sin u\ \cos v \\ 0 \\ \end{matrix} \right), \\ & \pm \left( \vec{\varphi}_{u}\times \vec{\varphi}_{v} \right)=\pm R^{2}\sin u\left( \begin{matrix} \sin u\ \cos v \\ \sin u\ \sin v \\ \cos u \\ \end{matrix} \right), \quad \left| \left| \pm \left( \vec{\varphi}_{u}\times \vec{\varphi}_{v} \right) \right| \right|=R^{2}\sin u,\\ & \hat{n}=\pm \left( \begin{matrix} \sin u\ \cos v \\ \sin u\ \sin v \\ \cos u \\ \end{matrix} \right), \quad \mathrm{d}\vec{\sigma }=\hat{n}\, \mathrm{d}\sigma =\hat{n}\ R^{2}\sin u\ \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v \\ \end{align}$

Beim Normalenvektor sind zwei Lösungen möglich ($\pm$), abhängig von der Reihenfolge von $\vec{\varphi}_{u}$ und $\vec{\varphi}_{v}$ im Kreuzprodukt. Typischerweise wählt man hier die positive Lösung, bei der $\hat n$ von der konvexen Kugeloberfläche weg zeigt.

• Beispiel 2: Ist die Fläche in der Form z = f(x,y) angegeben, so drückt man das Flächenelement durch die Differentiale der Koordinaten x, y aus. Dies lässt sich in der allgemeinen Form angeben:

$\mathrm d \sigma = \frac{\mathrm d x \,\mathrm d y}{\left| \hat{e}_z \cdot \hat{n} \right|}$   mit   $\left| \hat{e}_z \cdot \hat{n} \right| = \frac{1}{\sqrt{f_{x}^{2} + f_{y}^{2} + 1}}$

Dabei ist $\hat n$ der Normaleneinheitsvektor, $\hat{e}_z$ der Einheitsvektor in z-Richtung, f_x die Ableitung von f(x,y) nach x. Dies lässt sich mit den von oben bekannten elementaren Formeln zeigen:

$\begin{align} & \vec{\varphi}=\left( \begin{matrix} x \\ y \\ f(x,y) \\ \end{matrix} \right),\quad \vec{\varphi}_{x}=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ f_{x} \\ \end{matrix} \right),\quad \vec{\varphi}_{y}=\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ f_{y} \\ \end{matrix} \right),\quad \\ &\pm \left( \vec{\varphi}_{x}\times \vec{\varphi}_{y} \right)=\pm \left( \begin{matrix} - f_{x} \\ - f_{y} \\ 1 \\ \end{matrix} \right),\quad \left| \left| \pm \left( \vec{\varphi}_{x}\times \vec{\varphi}_{y} \right) \right| \right|=\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1},\quad \\ & \hat{n}=\pm \frac{1}{\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\left( \begin{matrix} - f_{x} \\ - f_{y} \\ 1 \\ \end{matrix} \right),\quad \hat{e}_{z}=\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right),\quad \left| \hat{e}_{z}\cdot \hat{n} \right|=\frac{1}{\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}, \\ &\mathrm{d}\vec{\sigma }=\hat{n}\, \mathrm{d}\sigma =\hat{n}\ \sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}\ \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \\ \end{align}$

Die Integrale

Mit den Parametrisierungen und den Oberflächenelementen kann man nun die Oberflächenintegrale definieren. Diese mehrdimensionalen Integrale sind Lebesgue-Integrale, können aber in den meisten Anwendungsfällen als mehrfache Riemann-Integrale berechnet werden.

Das skalare Oberflächenintegral

Das skalare Oberflächenintegral einer skalaren Funktion $f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R$ über eine Oberfläche $\mathcal F$ mit regulärer Parametrisierung $\varphi : B \rightarrow \mathbb R^3$ mit $B \subset \mathbb R ^2$ ist definiert als

$\iint_{\mathcal F} f(\vec{x}) \, \mathrm d \sigma = \iint_{B} f\left(\vec{\varphi}(u,v)\right) \, ||\vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v|| \,\, \mathrm d(u,v)$

Setzt man beispielsweise $f(\vec{x}) = 1$, so ist das skalare Oberflächenintegral einfach der Flächeninhalt der Oberfläche.

Das vektorielle Oberflächenintegral

Das vektorielle Oberflächenintegral einer vektorwertigen Funktion $f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3$ über eine Oberfläche $\mathcal F$ mit regulärer Parametrisierung $\varphi : B \rightarrow \mathbb R^3$ mit $B \subset \mathbb R ^2$ ist definiert als

$\iint_{\mathcal F} \vec{f}(\vec{x}) \cdot \mathrm d \vec{\sigma} = \iint_B \vec{f}\left(\vec{\varphi}(u,v)\right) \cdot (\vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v) \,\, \mathrm d(u,v)=:\Phi_{\mathcal F}(\vec f)$.

Eine anschauliche Vorstellung dieses Integrals geschieht über den Fluss Φ eines Vektorfeldes $\vec{f}$ durch die Fläche $\mathcal F$: Die Größe $\vec{f} \cdot \mathrm d \vec{\sigma}$ gibt an, welchen Beitrag zum Gesamtfluss $\Phi_{\mathcal F}(\vec f)$ der infinitesimal-kleine Oberflächen-Vektor $\mathrm d \vec{\sigma}=\hat{n}\,\mathrm d\sigma$ liefert.