Bra-Ket

Die Kunstwörter Bra und Ket bezeichnen eine spezielle Tensornotation, die insbesondere zur Bezeichnung von Zustandsvektoren in der Quantenmechanik verwendet wird. Der Vorteil dieser Notation besteht darin, dass sie koordinatenfrei ist. Die Gleichungen lassen sich ganz allgemein aufschreiben und man kann später die Koordinaten wählen, die für die Lösung des Problems am besten geeignet sind.

Paul Dirac selbst erfand sowohl die Schreibweise als auch die Benennung, die auf die spitze Klammer (bracket) anspielt, mit der man oft das Skalarprodukt $\lang v,w \rang$ zweier Vektoren bezeichnet.

In der Bra-Ket-Notation schreibt man die Vektoren eines Vektorraums V auch außerhalb eines Skalarprodukts mit einer spitzen Klammer als Ket $| v \rang$. Jedem Ket $| v \rang$ entspricht ein Bra $\lang v |$, der dem Dualraum V ^* angehört, also eine lineare Abbildung von V in den zu Grunde liegenden Körper K repräsentiert, und umgekehrt. Das Ergebnis der Operation eines Bras $\lang v |$ auf einen Ket $| w \rang$ wird $\lang v | w \rang$ geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.

Die mathematische Rechtfertigung für die Bra-Ket-Notation ergibt sich aus einem Satz über Hilberträume, den F. Riesz und M. Fréchet 1907 unabhängig voneinander bewiesen. Er besagt unter anderem, dass ein Hilbertraum und sein topologischer Dualraum isometrisch isomorph zueinander sind.

Beispiele

Sei v ein Vektor eines komplexen m-dimensionalen Vektorraums (${}_{v \in \C^m}$). Der Ket-Ausdruck ${}_{\left| v \right\rangle}$ kann als vertikaler Vektor mit komplexen Elementen ${}_{v_n}$ (${}_{v_n \in \C}$) dargestellt werden

$\left| v \right\rangle \Rightarrow \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}$

Der Bra-Ausruck ${}_{\left\langle v \right|}$ kann demnach als horizontaler Vektor mit den konjugierten Werten dargestellt werden

$\left\langle v \right| \Rightarrow \begin{pmatrix} v_1^* && v_2^* && v_3^* && \cdots && v_m^* \end{pmatrix}$

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Durch die Notation

$|e^{-}\rangle = |1s\uparrow \rangle$

kann ein Elektron im Zustand 1s mit Spin up des Wasserstoffatoms bezeichnet werden.

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Der Polarisationszustand eines Photons kann als Überlagerung zweier Basiszustände, z. B. $|V\rangle$ (vertikal polarisiert) und $|H\rangle$ (horizontal polarisiert) interpretiert werden:

$|\gamma\rangle = \alpha \cdot |V\rangle + \beta \cdot |H\rangle$

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt eines Bra $\langle\phi|$ mit einem Ket $|\psi\rangle$ wird in Bra-Ket Notation geschrieben als

$\langle\phi, \psi\rangle =: \langle\phi| \psi\rangle$

Für beliebige komplexe Zahlen c₁ und c₂ gilt:

$\langle\phi| \; \bigg( |c_1\cdot\psi_1\rangle + |c_2\cdot\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle.$ (Linearität)

$\bigg(\langle c_1\cdot\phi_1| + \langle c_2\cdot\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1^*\langle\phi_1|\psi\rangle + c_2^*\langle\phi_2|\psi\rangle.$ (Antilinearität)

Aufgrund der Dualitätsbeziehung gilt weiterhin

$\langle\psi|\varphi\rangle = \langle\varphi|\psi\rangle^*$ (komplexe Konjugation)

Tensorprodukt

Das Tensorprodukt eines Ket $|\phi\rangle$ mit einem Bra $\langle\psi|$ wird geschrieben als

$\bold{A}\ \ = \ \ \phi \otimes \psi \ \ =: \ \ |\phi\rangle\langle\psi|$

Im Fall gewöhnlicher Vektoren entspricht das Tensorprodukt einer Matrix.

Für eine vollständige Orthonormalbasis $\{|1\rangle,|2\rangle,...,|N\rangle \}$ führt die Operation

$|1\rangle \langle1| |\psi\rangle = \langle1|\psi \rangle |1\rangle = c_1 |1\rangle$

eine Projektion auf den Basiszustand $|1 \rangle$ aus. Dies definiert den Projektionsoperator auf den Unterraum des Zustands $|1 \rangle$:

$|1\rangle \langle1|$

Eine besonders wichtige Anwendung der Multiplikation von Ket mit Bra ist der Einheitsoperator I, der sich als Summe über die Projektionsoperatoren ergibt als

$I=\sum_{n=1}^N |n\rangle \langle n|.$

Dieses ist insbesondere deshalb von so herausragender Bedeutung, da man damit jeden Zustand $|a\rangle$ in einer beliebigen Basis entwickeln kann.

Ein Beispiel einer Basisentwicklung durch Einschieben der Eins:

$|a\rangle = I | a\rangle = \sum_{n=1}^N |n\rangle \underbrace{\langle n| a\rangle}_{=:\alpha_n} = \sum_{n=1}^N \alpha_n | n \rangle$

Dies ist die Darstellung des Zustands-Kets $|a\rangle$ in der n-Basis durch das sogenannte Einschieben der Eins (womit die Einheitsmatrix

$I=\sum_{n=1}^N |n\rangle \langle n|.$

gemeint ist).

Dass dies immer funktioniert, ist eine unmittelbare Konsequenz der Vollständigkeit des Hilbertraums, in dem die Zustände, also die Kets, 'leben'.

Für eine kontinuierliche Basis ist statt der Summe ein Integral zu bilden. So erhält man beispielsweise für den Ortsraum die Summe über die ganze orthogonale Basis und damit den Einheitsoperator als Integral über den ganzen $\mathbb{R}^3$:

$I= \sum_{\text{Basis}} |\vec{x}\rangle \langle \vec{x}| = \int |\vec{x}\rangle \langle \vec{x}| \, \mathrm{d}^3\! x$

Natürlich ist auch mit einer solchen kontinuierlichen Basis eine Basisentwicklung möglich.

Darstellungen in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik arbeitet man häufig mit Projektionen von Zustandsvektoren auf eine bestimmte Basis anstatt mit den Zustandsvektoren selbst.

Die Projektion auf eine bestimmte Basis wird Darstellung genannt. Ein Vorteil davon ist, dass die so erhaltenen Wellenfunktionen komplexe Zahlen sind, für die der Formalismus der Quantenmechanik als partielle Differentialgleichung geschrieben werden kann.

• Darstellung im Ortsraum (Ortsdarstellung):

Sei $| \vec x \rangle$ ein Eigenzustand des Ortsoperators $\hat{x}$ mit der Eigenschaft $\hat{x} | \vec x \rangle = \vec x | \vec x \rangle$.

Die Wellenfunktion $\psi(\vec x)$ ergibt sich durch Projektion als

$\psi(\vec x)=\langle \vec{x}|\psi\rangle$

Das Skalarprodukt im Ortsraum ist

$\langle\psi_1|\psi_2\rangle\ = \int \langle \psi_1 |\vec{x}\rangle\langle \vec{x}|\psi_2\rangle\, \mathrm{d}^3 \! x = \int \psi_1(\vec x)^*\,\psi_2(\vec x)\, \mathrm{d}^3 \! x$

• Darstellung im Impulsraum (Impulsdarstellung):

Sei $| \vec p \rangle$ ein Eigenzustand des Impulsoperators $\hat{p}$ mit der Eigenschaft $\hat{p} | \vec p \rangle = \vec p | \vec p \rangle$.

Die Wellenfunktion $\psi(\vec p)$ ergibt sich durch Projektion als

$\psi(\vec p)=\langle \vec{p}|\psi\rangle$

Das Skalarprodukt im Impulsraum ist

$\langle\psi_1|\psi_2\rangle\ = \int \langle \psi_1 |\vec{p}\rangle\langle \vec{p}|\psi_2\rangle\, \mathrm{d}^3 \! p = \int \psi_1(\vec p)^*\,\psi_2(\vec p)\, \mathrm{d}^3 \! p$

• Erwartungswert des Operators $\hat A$ im Ortsraum:

$\langle\psi_1|\hat A|\psi_2\rangle\ = \iint \langle \psi_1 |\vec{x}\rangle\langle\vec{x}|\hat A|\vec{x}'\rangle\ \langle \vec{x}'|\psi_2\rangle\, \mathrm{d}^3 \! x \, \mathrm{d}^3 \! x'\$ $= \iint \psi_1(\vec x)^* \hat{A}(\vec{x}, \, \vec{x}')\psi_2(\vec{x}')\, \mathrm{d}^3 \! x \, \mathrm{d}^3 \! x'$

Siehe auch

• Erwartungswert
• Hermitescher Operator
• Quantenchemie
• Quantenzustand