Statistische Momente

Momente sind Kenngrößen von Zufallsvariablen. Sie sind Parameter der deskriptiven Statistik und spielen eine theoretische Rolle in der Stochastik. Die Begriffe Erwartungswert, Varianz, Schiefe und Wölbung zur Beschreibung einer Zufallsvariablen hängen eng mit deren Momenten zusammen.

Eine Verteilungsfunktion ist durch Angabe aller ihrer Momente bestimmt, falls diese existieren und die Reihe der momenterzeugenden Funktion konvergiert. Es gibt Verteilungen, deren Momente nur bis zu einer bestimmten Ordnung existieren. Dazu gehören die t-Verteilungen, deren Momente nur für Ordnungen existieren, die kleiner als der Freiheitsgrad sind. Im Spezialfall der Cauchy-Verteilung existiert also nicht einmal das erste Moment (der Erwartungswert), das ist auch bei der Lévy-Verteilung der Fall.

Definition

Es sei X eine Zufallsvariable und k eine natürliche Zahl. Dann bezeichnet man als Moment der Ordnung k von X oder kürzer als k-tes Moment von X den Erwartungswert der k-ten Potenz von X (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert):

$m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right),$

und als k-tes absolutes Moment von X wird der Erwartungswert der k-ten Potenz des Absolutbetrages | X | von X bezeichnet:

$M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right).$

In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung κ betrachtet.

Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse.

Das erste Moment ist der Erwartungswert. Er wird meist mit μ bezeichnet und kann als Mittelwert oder „Zentralwert“ angesehen werden.

Darstellung für reelle Zufallsvariable

Ist X eine reelle Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F_X, dann folgt aus der Definition des Erwartungswertes

$m_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k \mathrm{d}F_X(x).$

Ist X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion f_X, dann gilt

$m_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k f_X(x)\;\mathrm{d} x,$

und für eine diskrete Zufallsvariable mit Sprungpunkten x_i und den Einzelwahrscheinlichkeiten p_i ist

$m_k= \sum_{i=1}^\infty x_i^k \cdot p_i.$

Zentrale Momente

Neben den oben definierten Momenten werden die zentralen Momente definiert, bei denen die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse um den Erwartungswert μ = E(X) der Zufallsvariablen X betrachtet wird:

$\mu_k := \operatorname{E}\left(\left(X-\mu\right)^k\right)$

und

$\bar{\mu}_k := \operatorname{E}\left(\left|X-\mu\right|^k\right).$

Das zweite zentrale Moment ist die Varianz:

$\mu_2 = \operatorname{E}\left(\left(X-\mu\right)^2\right).$

Das dritte zentrale Moment ist nach Normierung die Schiefe. Das vierte zentrale Moment ist nach Normierung die Wölbung (Kurtosis und Exzess). Schiefe und Wölbung werden zusammen als höhere Momente bezeichnet und oft als Maß der Abweichung von der Normalverteilung benutzt.

Momente und charakteristische Funktion

Durch mehrfaches Ableiten der Formel für die charakteristische Funktion erhält man eine Darstellung der gewöhnlichen Momente durch die charakteristische Funktion als

$\operatorname{E}(X^{k}) = \frac{\varphi_{X}^{(k)}(0)}{i^{k}} \quad (k=1,2,\dots)$

Das k-te Moment kann auch mit der momenterzeugenden Funktion ermittelt werden.

Markow-Ungleichung

Die Bedeutung der Momente wird durch folgenden Satz deutlich:

Wenn das k-te absolute Moment M_k der Zufallsvariablen X existiert, dann gilt

$\operatorname{P}(|X| \geqq x) \leqq \frac{M_k}{x^k}.$

Das ist die Markow-Ungleichung, die eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit betragsmäßig großer Werte von X liefert. Im Spezialfall k = 2 folgt daraus mit der Varianz σ² von X die bekannte Tschebyschow-Ungleichung

$\operatorname{P}(|X - \operatorname{E}X| \geqq x) \leqq \frac{\sigma^2}{x^2},$

die eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit großer Abweichungen der Zufallsvariablen X von ihrem Erwartungswert macht.

Verbundmomente

Der Momentenbegriff lässt sich auch auf mehrere Zufallsvariablen erweitern. Im Falle zweier Zufallsvariablen X und Y sind die zentralen gemeinsamen Momente (engl. joint moments) von X − η_X und Y − η_Y

$\mu_{kr} = \operatorname E\left((X-\eta_X)^k(Y-\eta_Y)^r\right) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} (x-\eta_X)^k(y-\eta_Y)^rf_{xy}(x,y)\,\operatorname{d}x\operatorname{d}y$

mit $\eta_X=\operatorname EX$ und $\eta_Y=\operatorname EY$.

Insbesondere ist μ₁₁ die Kovarianz von X und Y.

Literatur

• Athanasios Papoulis, S. Unnikrishna Pillai: Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Publishing Co.; 4Rev Ed edition (2002), ISBN 0-07-366011-6.