Zahlungsströme

Unter einem Zahlungsstrom versteht man in der Finanzmathematik die Menge der Zahlungen, die Wertpapiere, Derivate, Kontrakte oder Investitionen während ihrer Laufzeit leisten. Dabei sind die Zeitpunkte der einzelnen Zahlungen entscheidend, da es aus bewertungstechnischer Sicht einen großen Unterschied macht, ob Zahlungen in naher oder ferner Zukunft erfolgen.

Zahlungsströme sind in der Finanzmathematik die wesentliche bewertungsrelevante Information über ein Wertpapier. Zwei Wertpapiere, die denselben Zahlungsstrom haben, haben in einer Modellwelt denselben Wert, auch wenn beide Wertpapiere rechtlich unterschiedlich konstruiert sind. Ziel der Finanzmathematik ist es also, eine Funktion P zu finden, die einem Zahlungsstrom Z einen Barwert zuordnet.

Eigenschaften von Zahlungsströmen

Die Zahlungen sind bei Wertpapieren in aller Regel ausschließlich positiver Natur, während Zahlungsströme insbesondere bei Derivaten, Kontrakten oder Investitionen sowohl aus positiven als auch aus negativen Zahlungen bestehen können. Zum Beispiel weisen Investitionen häufig zu Beginn negative Zahlungen auf, die sich später in positive Zahlungen verwandeln. Kontrakte wie Swaps oder Futures werden so abgeschlossen, dass ihr heutiger Wert Null ist und kein Zahlungsaustausch stattfindet. Sie können dafür in der Zukunft sowohl positive als auch negative Zahlungen aufweisen.

In der Regel betrachtet man Zahlungsströme, bei denen die Zahlungen in gleichmäßigen Abständen erfolgen, etwa jährlich, halbjährlich oder vierteljährlich. Dann kann man einen Zahlungsstrom als Folge von Zahlungen darstellen:

$Z=(z_{t_i})_{i \in \{1,2,\ldots,n\}}$.

In manchen akademischen Modellen greift man aber auch auf stetige Zahlungsströme zurück, etwa eine fiktive Anleihe, die zwischen den Zeitpunkten t₁ und t₂ den Betrag $\int_{t_1}^{t_2}\,c\,dt$ zahlt, wobei c die Höhe des stetigen Kupons ist. Stetige Zahlungsströme werden in vielen Modellen eingesetzt, sind aber in der Realität nicht anzutreffen.

Grob unterscheiden kann man zwischen sicheren und unsicheren Zahlungsströmem. Sichere Zahlungsströme findet man in der Praxis bei Anleihen mit fixem Kupon ohne Kreditrisiko, während Anleihen mit Kreditrisiko, Anleihen mit variablen Kupon, Aktien und Derivate typischerweise unsichere Zahlungsströme ausweisen.

Zahlungsströme können mit einem skalarem Wert multipliziert und komponentenweise addiert werden. So besitzt ein Portfolio mit zwei Wertpapiere des gleichen Typs einen Zahlungsstrom, der die zweifachen Zahlungen der ursprünglichen Zahlungsströme hat. Ein Portfolio aus zwei verschiedenen Wertpapieren besitzt einen Zahlungsstrom, bei dem die Zahlungen sich aus der Summe der Zahlungen der beiden ursprünglichen Zahlungsströme ergeben. Aus mathematischer Sicht besitzt die Menge der Zahlungsströme daher die Struktur eines Vektorraumes.

Bewertung sicherer Zahlungsströme

Bei einem sicheren Zahlungsstrom gilt es, die Zeitpunkte der einzelnen Zahlungen explizit einzubeziehen. Das ist wichtig, da für die meisten Anleger heutiger Konsum höher bewertet wird als späterer Konsum. Somit ist es besser, einen bestimmten Geldbetrag heute zur Verfügung zu haben als zu einem Zeitpunkt in der Zukunft. Dieser geringere Nutzen zukünftiger Zahlungen wird ausgeglichen, indem ein Anleger Zinsen auf sein eingelgtes Kapital erhält.

Die persönliche Nutzenpräferenz ist dabei aber nicht entscheidend, wenn Gelder an einem funktionierenden Kapitalmarkt angelegt und geliehen werden können. Mit Hilfe des Kapitalmarktes können dann Zahlungen durch die Zeit transformiert werden. Dabei wird in der Modellwelt häufig ein gleicher Zinssatz r(t) für die Laufzeit t sowohl für angelegtes als auch für geliehenes Geld angenommen. Die Zinssätze für die einzelnen Laufzeiten $t_1, t_2, \ldots, t_n$ bilden dabei eine Zinsstrukturkurve.

Die Barwert Z eines Zahlungsstroms Z ist dann

$P(Z)=\sum_{i=1}^n\,\frac{1}{\left(1+r(t_i)\right)^{t_i}}\cdot z_{t_i}$.

Dabei ändert sich der Barwert, wenn sich die Zinssätze r(t_i) ändern. Bei stochastischen Zinssätzen kann also selbst ein sicherer Zahlungsstrom einen stochastischen Barwert besitzen.

Bewertung unsicherer Zahlungsströme

Bei unsicheren Zahlungsströmen mus das Risiko des Zahlungsstroms explizit mitbewertet werden. Typische Risiken sind etwa Kreditrisiken, Marktrisiken oder Liquiditätsrisiken. Es bieten sich zwei verschiedene Wege an, um den Barwert zu ermitteln.

Eine übliche Methode ist es, für das übernommene Risiko einen Spread (dt. Spanne) s auf den risikofreien Zinssatz r zu verlangen. Der Barwert ist dann

$P(Z)=\sum_{i=1}^n\,\frac{1}{\left(1+r(t_i)+s(t_i)\right)^{t_i}}\cdot z_{t_i}$.

Für s kann häufig in erster Näherung der Spread einer Anlage mit vergleichbarem Risiko herangezogen werden. Bei Risikoaversion ist der Spread negativ.

Als zweite Möglichkeit kommt in Frage, für jede Zahlung z(t_i) ein Sicherheitsäquivalent zu bestimmen. Darunter versteht man eine sichere Zahlung, die dem Empfänger den gleichen Nutzen wie die unsichere Zahlung bringt. Bei Risikoaversion ist das Sicherheitsäquivalent geringer als der Erwartungswert der unsicheren Zahlung. Das Sicherheitsäquivalent wird häufig mit Hilfe des Erwartungswerts unter risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt:

$P(Z)=\sum_{i=1}^n\,\frac{1}{\left(1+r(t_i)\right)^{t_i}}\cdot E^Q[z_{t_i}]$.

Erstere Methode hat sich in der Praxis bewährt, während letztere deutlich abstrakter ist und vor allem in akademischen Modellen anzutreffen ist.

Zahlungsströme in der Kapitalmarkttheorie

In der Kapitalmarkttheorie und besonders im Financial Engineering spielen Zahlungsströme eine herausragende Rolle. Zur Bewertung von Derivaten wird eine Möglichkeit gesucht, Zahlungsströme eines neuen Wertpapiers mittels Portfolien bereits vorhandener Instrumente zu duplizieren. Das übliche Argument des Financial Engineering ist, dass auf einem Markt ohne Arbitrage das Derivat denselben Barwert haben muss wie das Duplikationsportfolio. Das Duplikationsportfolio wird auch als Hedge bezeichnet. Ein Duplikationsportfolio muss nicht grundsätzlich statisch sein, sondern kann sich gerade bei Optionen dynamisch mittels einer Hedgestrategie an die Marktentwicklung anpasst werden.

Von einem Modellkapitalmarkt sagt man, er erfüllt die Spanning-Bedingung, wenn alle Zahlungsströme durch bereits vorhandene Kapitalmarktinstrumente oder durch Portfolien aus solche dupliziert werden können.