Bewegungsgleichungen

Unter einer Bewegungsgleichung versteht man eine mathematische Gleichung (oder auch ein Gleichungssystem), die die räumliche und zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems unter Einwirkung äußerer Einflüsse vollständig beschreibt. In der Regel handelt es sich um Differentialgleichungen.

Um eine gute mathematische Modellierung des zu betrachtenden physikalischen Systems zu erhalten, sind möglichst alle auf das System wirkenden Kräfte zu berücksichtigen. Dies gestaltet sich in der Praxis oftmals sehr aufwendig, sodass man häufig zur Verwendung geeigneter Näherungsverfahren gezwungen ist.

Aufstellen von Bewegungsgleichungen

Zum Aufstellen von Bewegungsgleichungen in der klassischen Physik wird

• das 2. Newtonsche Gesetz, oder
• der Lagrange-Formalismus oder
• der Hamilton-Formalismus verwendet. Darauf basierend ergibt sich die Bewegungsgleichung der Quantenmechanik, die Schrödingergleichung

Lösung der Bewegungsgleichung

Die Lösung der Bewegungsgleichung wird als „Bahngleichung“ bezeichnet. Die Bahngleichung beschreibt die Trajektorie, die das System zurücklegt. Sie ist, abgesehen von einigen einfachen Fällen (siehe Beispiele unten), meist nicht in analytisch geschlossener Form darstellbar und muss über numerische Methoden gewonnen werden. Dies ist bereits zur Ermittlung der Bahngleichungen dreier Himmelskörper, die sich gegenseitig gravitativ anziehen, erforderlich (siehe Dreikörperproblem). Zur Lösung eines N-Teilchensystems lässt sich die discrete element method anwenden.

Beispiele

Eine allgemeine Form der Bewegungsgleichung in der klassischen Physik lautet beispielsweise

$m \cdot \frac{d^2 \vec r(t)}{dt^2} = \sum_i \vec F_i(\vec r,t)$.

Oder bekannter:

$m \cdot \vec a = \sum_i \vec F_i$

Auf der linken Seite steht der Trägheitsterm für das Teilchen der Masse m, auf der rechten Seite werden alle auf das Teilchen wirkenden Kräfte $\vec F_i(\vec r,t)$ aufsummiert.

Bewegungsgleichung eines freien Masseteilchens

Die Bewegungsgleichung für dieses triviale Beispiel lautet

$m \cdot \frac{d^2 \vec r(t)}{dt^2} = \vec F = \vec 0$

mit:

• $\vec F~$ : Kraft auf Teilchen (= 0),
• m: Masse des Teilchens, und
• $\vec r(t)$: (zeitabhängiger) Ort des Teilchens

Die Lösung (Bahngleichung) erhält man durch zweimaliges Integrieren der Differentialgleichung:

$\vec r(t) = \vec v_0 \cdot t + \vec r_0$

mit den Integrationskonstanten:

• $\vec v_0$: Geschwindigkeit des Teilchens zu t = 0,
• $\vec r_0$: Ort des Teilchens zu t = 0

Das Teilchen bewegt sich also geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Die Masse m spielt keine Rolle.

Bewegungsgleichung eines Teilchens unter Einfluss einer konstanten Kraft

Ein Teilchen der Masse m sei der Schwerkraft $\vec g$ausgesetzt:

$m \cdot \frac{d^2 \vec r(t)}{dt^2} = m \cdot \vec g$.

Die Bahngleichung lautet

$\vec r(t) = \frac {1} {2} \cdot \vec g \cdot t^2 + \vec v_0 \cdot t + \vec r_0$

und stellt den ballistischen Parabelwurf dar. Für $\vec v_0 = 0$ erhält man den freien Fall.

Bewegungsgleichung der Speziellen Relativitätstheorie

In der speziellen Relativitätstheorie wird die Viererkraft definiert als die Ableitung des relativistischen Impulses nach der Eigenzeit τ, mit

$F^\mu=\frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d \tau} = \gamma \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d t}$,

wobei zwischen Eigenzeit und der Zeit t der Zusammenhang

$\mathrm d \tau = \frac{1}{\gamma} \mathrm d t$

gilt und γ den Lorentzfaktor bezeichnet.

Bewegungsgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie

Die Bewegung eines Körpers wird durch die Geodätengleichung der gekrümmten Raumzeit beschrieben, sofern nur gravitative Kräfte auf ihn einwirken. Dann bewegt sich der Körper entlang einer Geodäten der Raumzeit. Die Geodätengleichung lautet

$\ddot{x}^{\mu} + \Gamma_{\lambda \nu}^{\mu} \dot{x}^{\lambda} \dot{x}^{\nu} = \ddot{x}^{\mu} + \frac{g^{\mu \rho}}{2} \left( \partial_{\lambda} g_{\nu\rho} + \partial_{\nu} g_{\lambda\rho} - \partial_{\rho} g_{\lambda\nu} \right) \dot{x}^{\lambda} \dot{x}^{\nu} = 0$

wobei $\Gamma_{\lambda \nu}^{\mu}$ ein Christoffelsymbol 2. Art ist, welches die Abhängigkeit des metrischen Tensors zum Raumzeitpunkt (Ereignis), d.h. der Krümmung der Raumzeit, charakterisiert.

Bewegungsgleichung in der Strukturdynamik

In der Strukturdynamik ist die Bewegungsgleichung eines dynamisch belasteten Tragwerks die Grundlage der Berechnung:

$M \cdot \ddot x(t)+ D \cdot \dot x(t)+ K \cdot x(t)= f(t)$

Hierbei ist f(t) der Lastvektor des Systems. M,D und K sind die Masse-, Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrizen des Tragwerks. Der Vektor x(t) enthält die Verschiebungsgrößen. Die matrizielle Aufbereitung entsprechend den Freiheitsgraden einer Struktur eignet sich sehr gut für eine Computerberechnung, zum Beispiel nach der Finite-Elemente-Methode.

Quantenmechanisches Kastenpotential

Eindimensionaler Quantentopf der Länge L mit unendlich hohen Wänden. Es sind nur diskrete Energieeigenwerte E_n erlaubt (hier sind lediglich die untersten vier Niveaus E₁ bis E₄ dargestellt).

In der Quantenmechanik tritt die Schrödingergleichung als Bewegungsgleichung auf. Für das einfache Problem des Teilchens im eindimensionalen Kastenpotential der Länge L mit unendlich hohen Wänden lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)+V(x)\psi(x) = E \psi(x)$

mit

• ψ(x): Wellenfunktion des Teilchens
• V(x): Kastenpotential $= \begin{cases} 0, & \mbox{wenn }0 < x < L \\ \infty, & \mbox{sonst } \end{cases}$.

Die Energieeigenwerte E_n sowie die zugehörigen Eigenfunktionen ψ_n(x), $n=1,2,3,...,\infty$, lauten:

• $E_{n} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} \cdot n^2$
• $\psi_{n} = \sqrt{2/L} \cdot \sin \left(\frac {n\pi x}{L}\right)$

Weblinks

• Java-Programm, mit dem Bewegungsgleichungen in 1 bis 3 Dimensionen numerisch gelöst werden können