Formelsammlung Grundrechenarten

$\sqrt[n]{x}$

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Grundrechenarten. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Mathematische Symbole erläutert werden.

Notation

Addition und Subtraktion sind sogenannte Rechenoperationen der ersten Stufe, Multiplikation und Division sind Rechenoperationen der zweiten Stufe.

siehe auch Operatorrangfolge

Regeln

1. Stehen Operationen in runden Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt.
2. Stehen Operationen der gleichen Stufe hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.
3. Es gilt "Punktrechnung vor Strichrechnung", das heißt, Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) werden vor Rechenoperationen der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) ausgeführt.

Addition

(Zusammenzählen)

Summand + Summand = Summe

3 + 4 = 7

Subtraktion

(Abziehen)

Minuend - Subtrahend = Differenz

4 - 1 = 3

Multiplikation

(Malnehmen)

Multiplikand · Multiplikator = Produkt oder

Faktor · Faktor = Produkt

4 · 2 = 8

Division

(Teilen)

Dividend : Divisor = Quotient

8 : 2 = 4

Die Division durch Null ist nicht definiert.

Regeln

Kommutativgesetz der Addition

a + b = b + a

Kommutativgesetz der Multiplikation

a · b = b · a

Assoziativgesetz der Addition

(a + b) + c = a + (b + c)

Assoziativgesetz der Multiplikation

(a · b) · c = a · (b · c)

Distributivgesetz

a · (b + c) = a · b + a · c

Weitere Regeln

a - b = - (b - a)

(a - b) - c = a - (b + c)

a : b = 1 : (b : a)

(a : b) : c = a : (b · c)

a: (b: c) = (a: b) · c

Punkt vor Strich

5+3•7=26
Nicht: 56

Bruchrechnen

Schreibweise

$\frac{\rm Z\ddot{a}hler}{\rm Nenner}$

Die "Trennlinie" zwischen Zähler und Nenner ist der Bruchstrich. Er symbolisiert das Divisionszeichen:

$\frac{\rm Z\ddot{a}hler}{\rm Nenner} = \rm Z\ddot{a}hler : \rm Nenner$

Im folgenden werden nur Brüche mit ganzzahligem Zähler und Nenner betrachtet.

Gemischte Zahl

$2 \frac{5}{8}= 2 + \frac{5}{8}$

Ganze Zahl und ein Bruch.

Echter Bruch

$\frac{5}{8}$

Der Betrag des Zählers ist kleiner als der Betrag des Nenners. Der Betrag des Bruches ist also kleiner 1.

Unechter Bruch

$\frac{8}{5}$

Der Betrag des Zählers ist größer als der des Nenners oder gleich. Der Betrag des Bruches ist also größer oder gleich 1.

$\frac{7}{2} = \left(\frac{6}{2} + \frac{1}{2} \right) = 3 \frac{1}{2}$

Kehrwert

Den Kehrwert eines Bruchs erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner.

Nullwert eines Bruchs

Ist der Zähler eines Bruchs gleich Null, so ist der ganze Bruch gleich Null:

$\frac{0}{13} = 0$

Dezimalbruch

$0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Gleichnamige Brüche

$\frac{5}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{3}$

Alle Nenner sind gleich.

Ungleichnamige Brüche

$\frac{5}{8}, \frac{3}{2}, \frac{1}{8}$

Nicht alle Nenner sind gleich.

Kürzen von Brüchen

$\frac{6}{8} = \frac{6:2}{8:2}=\frac{3}{4}$

Zähler und Nenner werden durch die gleiche Zahl (hier die Zwei) dividiert. Man kann maximal durch den größten gemeinsamen Teiler des Nenners und des Zählers dividieren. Der Wert des Bruches bleibt dabei erhalten.

Um einen Faktor zu finden, mit dem man kürzen kann, können die Teilbarkeitsregeln angewendet werden.

Erweitern von Brüchen

$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}=\frac{9}{6}$

Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl ≠ 0 (hier mit der Drei) multipliziert, dabei bleibt der Wert des Bruches erhalten.

Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche

$\frac{5}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5+3-1}{8} = \frac{7}{8}$

Die Zähler werden addiert oder subtrahiert und der Nenner wird beibehalten.

Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche

Beispiel 1:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{6}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}$

Beispiel 2:

$\frac{2}{10} + \frac{3}{6} - \frac{1}{9} = \frac{18}{90} + \frac{45}{90} - \frac{10}{90} = \frac{53}{90}$

Die Nenner werden durch Erweitern auf ein gemeinsames Vielfaches, meist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aller Nenner, gebracht und somit zu gleichnamigen Brüchen. Ermittlung des kgV beispielsweise mit Hilfe der Primfaktorzerlegung

Multiplizieren von Brüchen

$\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 2} = \frac{15}{16}$

Zähler mal Zähler durch Nenner mal Nenner.

Dividieren von Brüchen

$\frac{5}{8}: \frac{3}{2} = \frac{5}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ (gekürzt)

Merkspruch

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

Man vertauscht beim zweiten Bruch Nenner und Zähler und multipliziert dann die beiden Brüche. Der Zähler des zweiten Bruchs darf nicht Null sein, da dies eine nicht definierte Division durch Null wäre.

Zusammengesetzte Brüche

Enthalten Zähler oder Nenner selbst weitere Operationen, so sind diese zuerst durchzuführen. Der Bruchstrich erfüllt in diesem Fall auch die Funktion von zwei Klammerpaaren:

$\frac{7+3}{9+2} = (7 + 3) : (9 + 2)$

Kürzen von Brüchen, welche Rechenoperationen der ersten Stufe enthalten

Achtung! Brüche mit gleichen Summanden in Zähler und Nenner sind nicht generell teilbar:

$\frac{7+2}{9+2} \ne \frac{7}{9}$

Merkspruch

Nur die Dummen kürzen Summen!

Es ist jedoch möglich, gemeinsame Teiler aller Summanden von Zähler und Nenner zu kürzen:

$\frac{10+2}{16} = \frac{2 \cdot (5+1)}{16} = \frac{5 + 1}{8}$

Umwandeln von Dezimalbrüchen

Abbrechende Dezimalbrüche werden als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner geschrieben und anschließend gekürzt:

$0{,}04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$

$3{,}625 = 3 + \frac{625}{1000} = 3 + \frac{5}{8} = 3 \frac{5}{8}$

Bei periodischen Dezimalbrüchen vermindert man die Zehnerpotenz um 1 (Zahl mit so viel Neunen, wie die Periodenlänge angibt):

$0{,}243243243\ldots = 0{,}\overline{243} = \frac{243}{999} = \frac{9}{37}$

Nicht sofort periodischer Fall:

$5{,}0681818181\ldots = 5{,}06\overline{81} = 5 + \frac{6}{100} + \frac{81}{9900} = 5 + \frac{66}{1100} + \frac{9}{1100} = 5 + \frac{75}{1100} = 5\frac{3}{44}$

Dezimalzahlen, die weder abbrechen noch periodisch werden, lassen sich nicht exakt als Bruch $\tfrac a b$ schreiben.