André Weil

André Weil (* 6. Mai 1906 in Paris; † 6. August 1998 in Princeton) war ein französischer Mathematiker.

Leben

André Weil wuchs als Sohn eines jüdischen Arztes in Paris und, während des Ersten Weltkrieges, Südfrankreich auf. Seine Schwester ist die Philosophin Simone Weil. Die Familie hatte Ursprünge im Elsass (er ist auch entfernt mit Albert Schweitzer verwandt), floh von dort aber nach der Annexion durch das deutsche Kaiserreich 1871. Schon mit sechzehn Jahren (und, wie berichtet wird, noch in kurzen Hosen) immatrikulierte er sich an der École Normale Supérieure. Nach Auslandsaufenthalten in Rom und Göttingen wurde er 1928 mit 22 Jahren bei Jacques Hadamard promoviert, mit einer Arbeit über diophantische Gleichungen. Von 1930 bis 1932 war er in Indien (Aligarh Muslim University), danach in Marseille und für sechs Jahre in Straßburg.

Zusammen mit einigen ehemaligen Kommilitonen begründete er Anfang der dreißiger Jahren, damals war er Professor in Straßburg, den Bourbaki-Kreis (die Benennung der Gruppe nach dem General der 1870er Kriege stammt angeblich von ihm). 1937 heiratete er seine Frau Eveline.

André Weil (1956)

Bei Ausbruch des Zweiten Weltkriegs versuchte Weil zunächst dem Militärdienst zu entgehen, indem er nach Finnland ging, um Rolf Nevanlinna zu besuchen. Bei ihm gefundene Briefe des Mathematikers Lew Pontrjagin in Russisch führten zu seiner Verhaftung als Spion (Finnland befand sich im Krieg mit Russland), und er soll nach eigener Schilderung in seiner Autobiographie sogar in Gefahr gewesen sein erschossen zu werden. Nevanlinna erreichte aber stattdessen seine Ausweisung. In Frankreich kam er wegen Desertion ins Gefängnis in Rouen, entging aber dem Prozess, indem er sich freiwillig meldete. 1941 floh er mit seiner Frau in die USA.

In den USA lebte er von Stipendien der Guggenheim und Rockefeller Stiftungen. Nach einer nach seinem Gefühl sehr frustrierenden Lehrtätigkeit an „Pennsylvanischen Ingenieurschulen“ (Haverford College, Swarthmore College) und einem Intermezzo in Saõ Paulo 1945-1947 (wo er allerdings Oscar Zariski traf) wurde er 1947 erst nach Chicago, dann 1958 an das Institute for Advanced Study in Princeton berufen, wo er 1976 emeritiert wurde, aber weiterhin tätig blieb.

Angesichts seiner streitbaren Natur ist es sehr wahrscheinlich, dass er einer der Mathematiker ist, von deren Intrigen gegen die Institutsleitung Ed Regis in seinem Buch Who got Einstein's office über das Institute for Advanced Studies berichtet: der designierte heftig attackierte Chef - ein anerkannter Wirtschaftswissenschaftler, von dem die Mathematiker allerdings verächtlich behaupteten, er habe über eine „Schuhfabrik“ promoviert - vermutete denn auch, dass Mathematiker deswegen zu Intrigen neigen, da sie sich nach einigen Stunden intensiver Arbeit am Morgen für den Rest des Tages nach anderem Zeitvertreib umsehen müssten.

1980 erhielt er den Leroy P. Steele Prize der American Mathematical Society. 1978 hielt er einen Plenarvortrag auf dem ICM in Helsinki (History of Mathematics: Why and How), 1954 auf dem in Amsterdam (Abstract versus Classical Algebraic Geometry) und 1950 auf dem ICM in Cambridge (Number Theory and Algebraic Geometry).

Werk

André Weil war einer der überragenden Mathematiker des zwanzigsten Jahrhunderts. Der Schwerpunkt seiner Tätigkeit lag auf den Gebieten der algebraischen Geometrie und Zahlentheorie, zwischen denen er überraschende Verbindungen fand.

In seiner Dissertation 1928 bewies er das Mordell-Weil-Theorem. Es besagt, dass die Gruppe der rationalen Punkte auf einer abelschen Varietät (was so viel heißt wie durch algebraische Gleichungen definiert und mit einer Gruppenstruktur versehen) endlich-erzeugt ist. Den Spezialfall der elliptischen Kurven hatte schon Louis Mordell bewiesen. Die Gruppenstruktur in diesem Spezialfall geht noch auf Henri Poincaré und seine Tangentenkonstruktion rationaler Punkte auf elliptischen Kurven zurück. Weil übertrug dabei die Idee von Fermats „unendlichem Abstieg“-Beweis in der Theorie diophantischer Gleichungen mit Hilfe der Einführung von „height functions“ („Höhenfunktionen“), die es erlaubten, die „Größe“ rationaler Punkte auf algebraischen Kurven zu messen.

Ein weiteres Ziel von Weil in den 1930er Jahren war der Beweis der Riemannschen Vermutung für Zetafunktionen auf abelschen Varietäten. Den Spezialfall der elliptischen Kurven hatte schon Helmut Hasse erledigt. Weil gelang dieser Beweis 1940, während er in Frankreich im Gefängnis saß. Den Rest der 1940er Jahre verbrachte er damit, die algebraische Geometrie auf eine strenge algebraische Basis zu stellen, um seine Beweise abzusichern (Bücher „Foundations of algebraic geometry“ 1946 u. a.).

1945 fand er dabei einen tiefliegenden Zusammenhang zwischen der Zetafunktion einer algebraischen Mannigfaltigkeit über endlichen Körpern und der Topologie (Bettizahlen u. a.) dieser algebraischen Mannigfaltigkeit. Den Begriff Zetafunktion einer algebraischen Varietät hat man sich dabei eher als eine Art Abzählfunktion für die Anzahl der in dem Körper liegenden Punkte dieser Kurve vorzustellen. Er formulierte dies in seinen berühmten „Weil-Vermutungen“. Sie besagen u. a., dass die Zetafunktion eine rationale Funktion ist (Quotient von Polynomen), dass die Grade der Polynome gleich den Bettizahlen der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit sind, die Zetafunktion einer Funktionalgleichung genügt und dass die Nullstellen den Realteil 1/2 hätten („Riemann-Vermutung“). Die Rationalität wurde von Dwork noch mit „elementaren“ p-adischen Methoden bewiesen. Für die letzte, die „Riemann-Vermutung“, benötigte Pierre Deligne 1974 das gesamte riesige Gebäude der Algebraischen Geometrie, das die Grothendieck Schule inzwischen errichtet hatte. Den Spezialfall der Kurven hatte Weil selbst bewiesen. Die Anregung für die ganze Theorie fand Weil nach eigenen Worten im Studium von Arbeiten von Gauß (Gauß-Summen). Weil geht darauf in „La cyclotomie jadis et naguère“ (Die Kreisteilung einst und jetzt) ein, der Zusammenhang ist aber auch in Ireland, Rosen „A classical invitation to number theory“ dargestellt.

Eine weitere nach ihm benannte Vermutung ist die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung, die 1999 bewiesen werden konnte. Sie besagt, dass elliptische Kurven über den rationalen Zahlen durch Modulfunktionen parametrisiert werden. Ein Spezialfall dieser Vermutung, der die Richtigkeit der Fermat-Vermutung implizierte, wurde 1995 von Andrew Wiles und Richard Taylor bewiesen. Auf Druck des nicht minder streitbaren Serge Lang wurde das „Weil“ in der Vermutung zunehmend relativiert. Weil selbst hatte die Vermutung zwar nicht zuerst aufgestellt, aber im Laufe der 1960er Jahre viel Arbeit zu ihrer Unterstützung geleistet.

In seinem Buch „Basic number theory“ von 1967 folgte er einem originären eigenen Zugang unter Verwendung von Claude Chevalleys „Ideles“ und den von ihm daraus entwickelten „Adeles“, der Integration über topologischen Gruppen und der in der Form der „central simple algebras“ gefassten Gruppenkohomologie.

Er führte auch die harmonische Analyse auf topologischen Gruppen ein (gleichnamiges Buch 1940) und schrieb 1958 ein Buch über Kählermannigfaltigkeiten. Die Weil-Darstellungen sind von Bedeutung in mathematischen Formulierungen zur Quantenmechanik und wurden von Weil als darstellungstheoretische Interpretation der Theorie der Thetafunktion eingeführt (in Bezug auf symplektische Gruppen).

Mit Carl B. Allendoerfer verallgemeinerte er 1943 den Satz von Gauß-Bonnet auf höhere Dimensionen.

Dank seiner klassischen Vorbildung (er war ein passionierter Sammler antiquarischer Bücher und flüssig in den antiken Sprachen, ja er studierte sogar Sanskrit in Paris) war er auch an der Geschichte der Mathematik, insbesondere an Pierre de Fermat interessiert. Eine Anzahl von Büchern und Aufsätzen (sowie von bissigen Kritiken) zeugen davon. Er gab auch die Werke von Ernst Eduard Kummer heraus.

Werke

• Oeuvres Scientifiques- Collected papers, 3 Bände, Springer Verlag, 1979 (mit seinem Kommentar)
• Lehr- und Wanderjahre eines Mathematikers, Birkhäuser 1993 (Original Souvenir d'apprentissage, Birkhäuser Verlag, Basel, 1991, 201 pp, ISBN 3-7643-2500-3) (Autobiographie, geht nur bis Ende 1947)
• Number of solution of equations over finite fields, Bulletin American Mathematical Society, Bd.55, 1949, S.497-508
• Basic number theory, Springer Verlag 1967, 1995
• Elliptic functions according to Kronecker and Eisenstein 1976
• Zahlentheorie - ein Gang durch die Geschichte von Hammurabi zu Legendre, Birkhäuser 1992 (zuerst engl. 1984)
• Two lectures on number theory - past and present, L Enseignement Mathematique 1974
• La cyclotomie jadis et naguère, Seminar Bourbaki 1974, online hier Weil: La cyclotomie jadis et naguère
• Dirichlet series and automorphic forms, Springer 1971
• Courbes algebriques et varietes abeliennes, Hermann 1971
• Adeles and Algebraic Groups, Birkhäuser 1982
• Number theory for beginners, Springer 1979 (70 Seiten, mit Beteiligung von Maxwell Rosenlicht)
• Arithmétique et géométrie sur les variétés algébriques, Hermann 1935
• L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications, 1941, 2. Auflage, Hermann 1951
• Foundations of algebraic geometry, American Mathematical Society (AMS), 1947, 1962
• Introduction à l’étude des variétés kählériennes, Hermann 1958
• L'arithmétique sur les courbes algébriques, Dissertation 1928

Literatur

• André Weil: Lehr und Wanderjahre eines Mathematikers, Birkhäuser 1993
• Freitag, Kiehl: Etale cohomology and the Weil conjecture, Springer Verlag 1988 (in Anhang Jean Dieudonné zu Geschichte)
• Osmo Pekonen: L'affaire Weil à Helsinki en 1939, Gazette des mathématiciens 52 (avril 1992), pp. 13—20. Mit einem Nachwort von André Weil (Weil schrieb in seiner Autobiographie, dass er dort als Spion verhaftet wurde, ihm die Erschießung drohte und er erst auf Fürsprache von Rolf Nevanlinna wieder freikam – die Fakten sind nach Pekonen viel weniger dramatisch).
• Pierre Cartier Abschied von einem Freund- André Weil (1906-1998), DMV Mitteilungen 1999, Nr.3, S.9

Weblinks

• Literatur von und über André Weil im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek
• André Weil. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)
• AMS Notices Gedächtnisheft, mit Beiträgen von Shimura, Armand Borel, Iyanaga, Chern, K.Chandrasekharan, Pierre Cartier u. a. (auch mit Review seiner Autobiographie)
• sein Aufsatz „On the Riemann hypothesis of function fields“, Proc.Nat.Acad. (USA) 1941 findet sich hier: Proceedings of the National Academy of Sciences
• Review seiner Autobiographie durch Varadarajan, Notices AMS 1999, pdf Datei (131 kB)
• Armand Borel und Taniyama zu Weil, Bulletin AMS, Bd.46, 2009, Nr.4

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