Lagrange-Punkte

Die Lagrange-Punkte oder Librations-Punkte sind die nach Joseph-Louis Lagrange benannten Gleichgewichtspunkte des eingeschränkten Dreikörperproblems der Himmelsmechanik. An diesen Punkten im Weltraum heben sich die Gravitationskräfte benachbarter Himmelskörper und die Zentrifugalkraft der Bewegung gegenseitig auf, so dass jeder der drei Körper in seinem Bezugssystem kräftefrei ist und bezüglich der anderen beiden Körper immer denselben Ort einnimmt.

Position der fünf Lagrange-Punkte (L₁, …, L₅) in einem System aus Zentralgestirn (gelb) und Planet (blau).

Lagrange konnte beweisen, dass das im Allgemeinen analytisch nicht lösbare Dreikörperproblem für einige Spezialfälle des eingeschränkten Dreikörperproblems doch analytisch lösbar ist: Für zwei umeinander kreisende Körper gibt es für einen dritten Körper – mit im Verhältnis zu den anderen beiden verschwindend kleiner Masse – fünf solcher Lagrangepunkte.

Lage der Lagrange-Punkte

Die Lagrangepunkte sind im mitbewegten Bezugssystem, welches sich mit der Bahnbewegung des Planeten um das Zentralgestirn mitdreht (so dass in ihm der Planet still zu stehen scheint), feste Punkte, in denen sich die Gravitationskräfte der beiden Körper auf den dritten und seine Zentrifugalkraft (aufgrund der Kreisbewegung im ruhenden Bezugssystem) aufheben, so dass er in diesen Punkten ruht und nicht in Richtung eines der beiden anderen Himmelskörper ausgelenkt wird. Im ruhenden Bezugsystem führt ein Körper in einem der Lagrangepunkte also eine zur Umlaufdauer des Planeten synchrone Bewegung um das Zentralgestirn aus.

Drei der fünf Lagrangepunkte liegen auf der Verbindungslinie der anderen beiden Körper, der vierte und fünfte bilden mit diesen beiden Körpern jeweils die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks.

Die Punkte nennt man Lagrange-Punkte 1 bis 5 oder kurz L₁ bis L₅. Nur in den Punkten L₄ und L₅ liegt ein stabiles Gleichgewicht vor, bei L₁ bis L₃ dagegen ein labiles. Daher können sich in der Umgebung von L₁ bis L₃ natürliche Himmelskörper nicht auf Dauer halten.

L₁

Der innere Lagrangepunkt L₁ befindet sich zwischen den beiden großen Körpern auf ihrer Verbindungslinie. Ein Körper, der z. B. die Sonne in einem engeren Abstand als die Erde umkreist, würde normalerweise eine kürzere Umlaufdauer haben als die Erde. Durch die Anziehungskraft der Erde wird jedoch die Anziehungskraft der Sonne auf den Körper geschwächt (die beiden Kräfte wirken entgegengesetzt), wodurch sich seine Umlaufdauer erhöht und er sich im L₁ des Systems Erde-Sonne schließlich synchron zur Erde bewegt. Dieser Punkt befindet sich ca. 1,5 Millionen Kilometer von der Erde entfernt in Richtung Sonne.

ACE in einer Bahn um L₁

Beispiel: Der innere Lagrange-Punkt L₁ im System Erde-Sonne dient als „Basis“ zur Sonnenbeobachtung. Schon 1978 brach dorthin die Sonde ISEE-3 auf, um ihn bis 1982 zu umkreisen. Sie war die erste Sonde, die einen Lagrangepunkt umkreiste. Seit 1995 umkreist ihn der Sonnenbeobachtungssatellit SOHO mit einem Bündel von zwölf Messinstrumenten. Aus der Sicht des mit der Erdbewegung mitbewegten Bezugssystems umkreist SOHO den Lagrange-Punkt einmal innerhalb von sechs Monaten im Abstand von rund 600.000 km, um bei der Kommunikation nicht von der Sonne gestört zu werden und den Aufwand für Bahnkorrekturen nicht zu groß werden zu lassen. Der Advanced Composition Explorer zur Erforschung von Partikeln aus allen möglichen Quellen im Universum (u. a. der Sonne) umkreist den L₁ seit Anfang 1998. Auch die Raumsonde Genesis mit Instrumenten zur Erforschung des Sonnenwinds und zum Einfang seiner Partikel war dort von 2001 bis 2004 positioniert.

L₂

Die Position von L₂

L₂ befindet sich hinter dem kleineren der beiden großen Körper auf ihrer Verbindungslinie. Ursache ist ein ähnlicher Effekt wie im Fall des L₁. Normalerweise wäre außerhalb der Erdbahn die Umlaufdauer länger als die der Erde. Die zusätzliche Anziehung der Erde (Kräfte von Sonne und Erde auf den Körper sind gleichgerichtet) bewirkt jedoch eine kürzere Umlaufdauer, welche im L₂ wiederum gleich der Umlaufdauer der Erde ist. Dieser Punkt befindet sich ca. 1,5 Millionen Kilometer außerhalb der Erdbahn.

Beispiel: Der L₂-Punkt des Systems Erde-Sonne wird gerne für Weltraumteleskope verwendet. Da ein Körper im L₂ dieselbe Orientierung in Bezug auf Sonne und Erde beibehält, ist dort die Abschirmung (vor Sonnenstrahlung) und Kalibrierung des Satelliten wesentlich einfacher. Der WMAP-Satellit (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), der die kosmische Hintergrundstrahlung des Urknalls untersuchte, befand sich in einer Umlaufbahn um den L₂-Punkt des Systems Erde-Sonne. Die ESA hat das bisher größte Infrarot-Weltraumteleskop Herschel und das Teleskop Planck zur Untersuchung der Hintergrundstrahlung im September 2009 dort stationiert.^[1] Mitte 2013 soll der ESA-Astrometrie-Satellit Gaia in eine Umlaufbahn um diesen Lagrange-Punkt einschwenken. Frühestens für 2018 planen NASA, ESA und CSA, den L₂ für ihr James Webb Space Telescope zu benutzen. 2019 soll das Weltraumteleskop Euclid im L₂ stationiert werden und die Dunkle Materie und Energie sechs Jahre lang erforschen. Eine Studie der ESA sah für 2015 bei L₂ den Einsatz einer Formation von Infrarot-Weltraumteleskopen namens Darwin zur Suche nach Anzeichen von Leben auf erdähnlichen Exoplaneten vor, wurde aber im Jahr 2007 eingestellt.

L₃

L₃ befindet sich hinter dem größeren der beiden großen Körper auf ihrer Verbindungslinie etwas außerhalb der Umlaufbahn des kleineren der beiden Körper. Dieser dritte Lagrangepunkt existiert auf der gegenüberliegenden Seite der Sonne, etwas weiter weg von der Sonne als die Erde. In diesem Punkt bewirken die (gleichgerichteten) kombinierten Anziehungskräfte von Erde und Sonne wieder eine Umlaufdauer, welche gleich der der Erde ist.

Beispiele: Der L₃-Punkt war in Science-Fiction-Büchern und Comics ein beliebter Platz für eine hypothetische (für uns aufgrund der Sonne nicht sichtbare) „Gegenerde“. Da die Masse einer erdähnlichen „Gegenerde“ in dem System jedoch nicht mehr zu vernachlässigen wäre, handelte es sich hier um ein etwas anders gelagertes Dreikörperproblem und L₃ läge aus Symmetriegründen exakt auf der Umlaufbahn der Erde.

L₄ und L₅

Diese beiden Lagrangepunkte befinden sich jeweils am dritten Punkt eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Grundlinie die Verbindungslinie der beiden großen Körper ist. L₄ befindet sich in Umlaufrichtung des kleineren der beiden großen Körper vor ihm, L₅ hinter ihm. Der L₄- und L₅-Punkt liegen also 60° vor beziehungsweise 60° hinter dem um den Zentralkörper umlaufenden Körper in seiner Umlaufbahn.

Im Gegensatz zu L₁, L₂ und L₃ sind L₄ und L₅ stabil, d. h. in ihrer Nähe können sich Körper auch ohne Bahnkorrektur dauerhaft aufhalten. Dementsprechend können an diesen Punkten natürliche Objekte erwartet werden. Tatsächlich befinden sich in der Nähe von L₄ und L₅ eine Vielzahl von Staubwolken und Kleinkörpern, insbesondere auf den Umlaufbahnen der großen Planeten. Asteroiden oder Monde, die sich im näheren Umkreis dieser Punkte befinden, werden von Astronomen auch Trojaner oder Trojaner-Monde genannt. Um L₄ der Erde kreist der 2010 entdeckte 2010 TK7.

Vereinfachtes Modell von Lagrange

Lagrange-Punkte L₁ bis L₃

Sie lassen sich rechnerisch herleiten, wenn man die drei Massen auf einer Linie anordnet und für die Rotation um den gemeinsamen Schwerpunkt die Summe der Kräfte

• aus der Zentrifugalwirkung der Rotation um den gemeinsamen Schwerpunkt und
• aus der gravitativen Anziehung untereinander

zu Null setzt.

Lagrange-Punkte L₄ und L₅

Wenn man 3 gleich schwere Körper (m₁ = m₂ = m₃) umeinander auf einer gemeinsamen Kreisbahn rotieren lässt, ist sofort klar, dass

• der gemeinsame Schwerpunkt und
• das gemeinsame Gravitationszentrum

im Kreismittelpunkt liegen müssen. Die Zentrifugalkraft ist für alle drei Körper gleich und kann für die weiteren Überlegungen vernachlässigt werden.

Die direkte Gravitationswirkung der drei Körper aufeinander ist dann ausgeglichen, wenn auf der Kreisbahn die drei Körper den gleichen Abstand zueinander einnehmen. Das kann aber nur in einem gleichseitigen Dreieck der Fall sein. Dort ist der Winkel der einzelnen Seiten zueinander gleich und beträgt 60° und die Winkelsumme 180° (Euklidische Geometrie).

Verändert man nun die Massen, dann wird der gemeinsame Schwerpunkt, um den das System rotiert, hin zu der schwersten Masse verschoben. Die Eigenschaft, dass das Dreieck gleichseitig bleibt und folglich die Winkel der Massen zueinander mit 60° gleich bleibt, wird dadurch aber nicht beeinflusst.

Durch die Verzerrung der Raumzeit durch die Gravitationswirkung gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie wird der Raum verzerrt und die Lage der Librationspunkte gestört (nicht euklidische Geometrie mit der Folge einer Winkelsumme $\neq$180°).

Herleitung der Librationspunkte durch Lagrange

Bei vergleichbar großen Massen bewegen sich drei Körper in einem Rotationssystem im Allgemeinen chaotisch umeinander. Anders sieht es aus, wenn entweder die Masse der drei Körper gleich groß oder einer der drei Körper sehr klein gegenüber den anderen beiden ist. Lagrange betrachtete den letzteren Fall. Der erstere ist hingegen gut verwendbar zum Einstieg in das Verständnis des Effekts, der zum Gleichgewicht im letzteren Fall führt:

Lagrange ging in seiner Herleitung nun davon aus, dass einer der Körper eine verschwindend geringe Masse haben soll, so dass der Masseschwerpunkt nur noch von den beiden schwereren Körpern bestimmt wird und zwischen diesen liegt. Außerdem davon, dass die beiden schwereren deutlich unterschiedliche Masse haben, also im Wesentlichen der mittelschwere (Planet) um den schwersten (Sonne) kreist. Außerdem davon, dass auch dann, wenn einer der beiden massereichen Körper der deutlich schwerste (Sonne) ist, dieser Masseschwerpunkt deutlich aus dessen Mittelpunkt herausgeschoben ist. Das bedeutet unter anderem, dass der massereichste Körper (Sonne) aufgrund der Wechselwirkung mit dem zweitschwersten Körper (Planet) deutlich um den gemeinsamen Masseschwerpunkt herum „geschleudert“ werden muss. Genau dann und proportional zu dieser Verschiebung des Masseschwerpunkts passiert es, dass die beiden massereichen Körper am Schwerpunkt vorbei aus entgegengesetzten Richtungen auf den kleinsten Körper im betrachteten System einwirken können – ähnlich dem eingangs betrachteten Rotationssystem mit den drei gleich großen Massen, nur dass der Winkel, unter dem die „Sonne“ auf den betrachteten Kleinkörper am Masseschwerpunkt vorbeiwirkt, extrem klein (aber trotzdem ungleich Null) ist.

Nun zeigt sich, dass eben im Fall relativ großer Masseverhältnisse erstens wieder eine stabile Bahn der drei Körper zustande kommt und zweitens das Gebilde unabhängig vom konkreten Masseverhältnis immer jenes gleichseitige Dreieck bleibt (nur dass es um einen Schwerpunkt nahe bei der Sonne anstatt genau in der Mitte der drei Körper kreist).

Das Modell ist nicht ohne weiteres auf Mehrplanetensysteme wie unser Sonnensystem anwendbar. Die Auslenkung der Sonne um ihren Mittelpunkt wird bei uns im Wesentlichen von Jupiter bestimmt. Dieser Planet ist es dann auch, der als einziger etliche Masseteilchen um seine Lagrange-Punkte L₄ und L₅ herum angesammelt hat. Alle anderen Planeten lenken die Sonne im Verhältnis dazu nur zu Bruchteilen ab, so dass die Bewegung der Sonne aus deren Sicht von einer chaotischen Funktion hoher Amplitude in Bezug auf das Lagrange-Modell überlagert ist. Durch statistische Effekte (unterschiedliche Umlauffrequenzen) und lineare Überlagerung können die Lagrange-Punkte allerdings auch bei den kleineren Planeten zur Wirkung kommen.

Beispiele für L₄ und L₅

Jupitertrojaner

In der Umgebung der Punkte L₄ und L₅ des Jupiter halten sich die (erstmalig bei Jupiter so genannten) Trojaner auf, eine Gruppe von Asteroiden. Sie haben dieselbe Umlaufperiode wie Jupiter, eilen ihm aber im Mittel 60° vor bzw. nach und umkreisen dabei die Punkte L₄ und L₅ periodisch in weiten Bögen. Bislang sind in L₄ und L₅ rund 900 beziehungsweise 600 Trojaner bekannt, die Gesamtzahl wird auf einige Tausend geschätzt. Der erste Trojaner, (588) Achilles, wurde 1906 von Max Wolf entdeckt. Der weitaus größte Trojaner dürfte der 1907 entdeckte (624) Hektor sein, ein unregelmäßig geformter Asteroid von 370 × 195 km Ausdehnung.

Trojaner anderer Planeten

1990 wurde auch im Librationspunkt L₅ des Mars ein Mars-Trojaner entdeckt, der Eureka getauft wurde. Mittlerweile hat man vier weitere Mars-Trojaner entdeckt, davon einen im L₄-Punkt. Ende 2001 fand man auch 60° hinter Neptun einen Trojaner. Mit dem 4-m-Spiegelteleskop am Cerro Tololo aufgenommen, erhielt der 230-km-Körper den provisorischen Namen 2001 QR₃₂₂, war aber erst nach einem Jahr „gesichert“. Er umrundet die Sonne – genau wie Neptun – in 166 Erdjahren. 2010 wurde dann auch erstmals ein Neptun-Trojaner im Lagrangepunkt L₅, 60° vor Neptun, nachgewiesen, 2008 LC₁₈.

Erdbegleiter

Die Erde besitzt bisher einen möglichen bekannten Trojaner, den Asteroiden 2010 TK7, dessen Entdeckung durch Forscher der Athabasca University in Kanada im Juli 2011 veröffentlicht wurde.^[2][3] Er befindet sich auf dem Lagrange-Punkt L4.

In den 1950ern wurden Staubwolken in den L₄- und L₅-Punkten des Erde-Sonne-Systems gefunden. In den L₄- und L₅-Punkten des Systems Erde-Mond wurden ebenfalls sehr schwache Staubwolken gefunden, die Kordylewskischen Wolken, die noch schwächer als der lichtschwache Gegenschein ausgeprägt sind. Jedoch gibt es einige Asteroiden, welche sich auf einer sogenannten Hufeisenumlaufbahn zusammen mit der Erde (also einer mittleren Umlaufdauer von einem Jahr) um die Sonne bewegen. Der Übergang von einem Trojaner zu einer Hufeisenbahn ist fließend: Wenn der Abstand eines Trojaners zum L₄- oder L₅-Punkt zu groß ist, dann wird er einmal auf der Erdbahn den der Erde entgegengesetzten Punkt überschreiten und dann in Richtung des anderen Lagrange-Punktes wandern. Insbesondere die Bahn des am 9. Januar 2002 mit Hilfe der automatischen Himmelsüberwachung LINEAR (Lincoln Near Earth Asteroid Research) entdeckten Asteroiden 2002 AA₂₉ (ein Objekt mit nicht einmal 100 m Durchmesser) ist bemerkenswert. Er umkreist die Sonne auf einer der Erdbahn sehr ähnlichen Umlaufbahn, wobei er vom mit der Erdbewegung mitbewegten Bezugssystem aus gesehen entlang der Erdbahn im Lauf von 95 Jahren einen Bogen von fast 360° beschreibt, den er in weiteren 95 Jahren wieder zurückschwingt. Die Form des Bogens erinnert an ein Hufeisen, daher der Name Hufeisenbahn. Die stabilste, derzeit bekannte Hufeisenbahn eines Erdbegleiters besitzt 2010 SO16.

Koorbitale Monde (Trojaner-Monde)

Weitere Trojaner gibt es im Mondsystem des Saturns. So hat der Saturnmond Tethys die kleinen Monde Telesto in seinem L₄- und Calypso in seinem L₅-Punkt und der Saturnmond Dione hat die Monde Helene in seinem L₄- und Polydeuces in seinem L₅-Punkt.

Stabilität der Lagrange-Punkte

Konturplot des effektiven Potentials des Systems aus Erde und Sonne; Die Größenverhältnisse entsprechen nicht der Realität.

Die ersten drei Lagrangepunkte sind nur bezüglich Abweichungen senkrecht zu der Verbindungslinie zwischen den beiden großen Körpern stabil, während sie bezüglich Abweichungen in Richtung dieser Verbindungslinie instabil sind. Am einfachsten kann man dies anhand des L₁-Punkts sehen. Auf eine Testmasse, die vom L₁ aus senkrecht von der Verbindungslinie entfernt wird, wirkt eine Kraft zurück in den Gleichgewichtspunkt. Dies liegt daran, dass die waagerechten Kraftkomponenten der beiden großen Körper sich gegenseitig aufheben, während sich ihre senkrechten Kraftkomponenten addieren. Wird hingegen ein Objekt aus dem L₁-Punkt heraus etwas näher an einen der beiden anderen Körper bewegt, so ist die Gravitationskraft des Körpers, dem er näher ist, größer. Somit heben sich die Kräfte nicht mehr vollständig gegenseitig auf, und die Testmasse wird weiter in Richtung des näheren Körpers beschleunigt. Die Punkte L₁ und L₂ sind dennoch von Nutzen, da geringe Korrekturmanöver eines Satelliten ausreichen, um ihn dort zu halten.

Im Gegensatz dazu sind L₄ und L₅ Gleichgewichtszustände (CF-Attraktor), sofern das Massenverhältnis der beiden großen Körper größer als 24,96 ist. Wird ein Körper in einem dieser Punkte gestört, so entfernt er sich von ihm, aber die Corioliskraft zwingt ihn aus der Sicht des rotierenden Bezugssystems, in dem die Lagrangepunkte ruhen, in eine nierenförmige Umlaufbahn um diesen Punkt.

Siehe auch

• Koorbitales Objekt, Keplersche Gesetze

Literatur

• Martin Hechler: Die Bahnen der Weltraumteleskope Herschel und Planck. In: Sterne und Weltraum. Heidelberg 47.2008, Nr. 1 (Jan.), S. 48–55. ISSN 0039-1263
• Claudio Maccone: Planetary defense from the nearest 4 lagrangian points plus rfi-free radioastronomy from the farside of the moon- a unified vision. Acta Astronautica, Volume 50, Issue 3, Februar 2002, S. 185–199 doi:10.1016/S0094-5765(01)00176-X pdf online

Weblinks

 Commons: Lagrange-Punkte – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

 Wiktionary: Librationspunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Kann man im All parken? aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri
• Kosmologs
• http://www.astronews.com/news/artikel/2002/07/0207-015.shtml – Eine Schnellstraße durch das Sonnensystem (Deutsch)
• http://wmap.gsfc.nasa.gov/media/ContentMedia/lagrange.pdf – Artikel zum Thema mit einfachen Formeln und Diagrammen (Englisch; PDF-Datei; 171 kB)
• http://www.physics.montana.edu/faculty/cornish/lagrange.html – Artikel zu Lagrangepunkten mit weiterführenden Links (Englisch)
• http://www.princeton.edu/~rvdb/JAVA/astro/galaxy/Galaxy0.html – Java-Programm zur Simulation von Mehrkörpersystemen u.a. Lagrange-Punkte

Einzelnachweise

1. ↑ ESA News: ESA en route to the origins of the Universe. Abgerufen am 15. Mai 2009. 
2. ↑ http://www.spiegel.de/wissenschaft/weltall/0,1518,776974,00.html
3. ↑ http://www.nature.com/nature/journal/v475/n7357/full/nature10233.html, (englisch)

Dieser Artikel wurde am 24. Dezember 2008 in dieser Version in die Liste der lesenswerten Artikel aufgenommen.