- Dichtebündel
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Ein Dichtebündel ist ein Spezialfall eines Vektorbündels und wird im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie untersucht. Mit Hilfe dieser Bündel kann man einige aus der Analysis bekannte Objekte auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. So kann man ähnlich wie mit Differentialformen einen koordinaten-invarianten Integralbegriff auf Mannigfaltigkeiten definieren. Man findet mit Hilfe dieser Bündel Verallgemeinerungen der Lp-Räume und der Distributionenräume auf Mannigfaltigkeiten.
Inhaltsverzeichnis
Definition
r-Dichte
Sei V ein reeller, n-dimensionaler Vektorraum und mit ΛnV wird die n-te äußere Potenz des Vektorraums V notiert. Für jedes definiert man eine r-Dichte als eine Funktion , so dass
- f(λu) = | λ | rf(u)
für alle und für alle gilt. Der Vektorraum der r-Dichten wird mit | V | r notiert.
r-Dichtebündel
Sei M eine glatte, n-dimensionale Mannigfaltigkeit und eine reelle Zahl. Mit wird der Raum der globalen Schnitte auf einem Vektorbündel notiert.
Analog zur obigen Definition ist eine r-Dichte auf einer Mannigfaltigkeit eine Abbildung
mit
- μ(λu) = | λ | rμ(u)
für alle und für alle glatten Funktionen .
Das Vektorbündel der r-Dichten ist dann definiert durch
- | Λn(M) | r: = | Λn(TM) | r.
Mit TM wird das Tangentialbündel bezeichnet.
Pullback
Für induziert eine glatte Abbildung zwischen zwei glatten n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten einen Pullback
welcher für alle durch
definiert ist. Dabei ist ϕ * der Pushforward von ϕ, sind M und N reelle Untermannigfaltigkeiten so ist ϕ * die totale Ableitung von ϕ.
Dualraum
- Sei M wieder eine glatte Mannigfaltigkeit. Da der Vektorraum der 0-Dichten | ΛnTpM | 0 nur aus den konstanten Funktionen besteht, gilt für das entsprechende Dichtebündel
- Für gilt die Isomorphie
- Aus den Eigenschaften 1. und 2. folgt
und daher ist | Λn(M) | α der Dualraum von | Λn(M) | − α und man schreibt
Integration auf Mannigfaltigkeiten
Eins-dichten sind insbesondere deshalb wichtig, weil sie (koordinatenunabhängig) auf Mannigfaltigkeiten integriert werden können. Ihr Vorteil gegenüber Differentialformen, welche auch diese Eigenschaft haben, ist, dass man Dichten auch auf nicht orientierbaren Mannigfaltigkeiten integrieren kann.
Definition
Sei also M eine glatte Mannigfaltigkeit und sei eine 1-Dichte. Dann ist das Integral von μ über M wie folgt definiert. Sei eine endliche Familie von Karten, welche überdecken. Und sei eine subordinierte Zerlegung der Eins. Dann setze
Die rechte Seite ist unabhängig von der Wahl der Karte und der Wahl der Zerlegung der Eins.
Eigenschaften
- Das Integral ist invariant bezüglich Diffeomorphismen. Das heißt für alle glatten Mannigfaltigkeit M und N der gleichen Dimension n und jeden Diffeomorphismus und jede 1-Dichte gilt
∫ ϕ * μ = ∫ μ. M N - Das Integral ist lokal, das heißt für jede Teilmenge und jede 1-Dichte mit gilt
∫ μ = ∫ μ. M U - Für jedes gilt
Das rechte Integral ist ein normales Lebesgueintegral einer glatten Funktion mit kompaktem Träger.
L1-Raum
Sei eine messbare 1-Dichte mit kompaktem Träger. Existiert das Integral
∫ | μ | M , so nennt man μ einen L1-Schnitt dessen Norm durch
gegeben ist. Die Vervollständigung dieser Menge bezüglich der gegebenen Norm liefert den Raum L1(M, | Λn(M) | 1). Ist die Mannigfaltigkeit kompakt, so bewirkt die Vervollständigung nichts.
Lp-Räume
Seien nun und und eine der beiden Dichten habe kompakten Träger. Dann ist aufgrund der Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum und hat kompakten Träger. Somit ist integrierbar.
Ist
∫ | μ | p M integrierbar so spricht man analog von einem Lp-Schnitt dessen Norm durch
gegeben ist. Die Vervollständigung liefert den Raum Ebenfalls wieder wegen Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum ist der Raum mit der Dualraum zu
Beispiele
Koordinatentransformation
Sei die zu betrachtenden Mannigfaltigkeit und sei die kanonische Basis des Tangentialraums , dann ist eine Basis von Es gibt dann einen glatten nirgends verschwindenden Schnitt welcher durch
definiert ist. Für jede glatte Abbildung ist μ = f | dνn | eine glatte 1-Dichte. Das Leser kann das Objekt | dνn | als das Lebesgue-Maß verstehen.
Sei ein glatter Diffeomorphismus, dann gilt
Dabei bezeichnet die Jacobi-Matrix von ϕ. Diesen Zusammenhang findet man auch bei der Koordinatentransformation von Integralen, vergleich dazu auch Transformationssatz.
Tensordichte
Ersetze in der Definition von | Λn(M) | r: = | Λn(TM) | r das Tangentialbündel TM durch das Tensorbündel Dann heißt das davon induzierte Dichtebündel das r-Tensordichtebündel. Im Fall r = 0 heißen die Elemente Tensorfelder.
Distributionen
Da man wie weiter oben im Artikel beschrieben 1-Dichten über Teilmengen einer Mannigfaltigkeit integrieren kann, erlaubt dies nun Distributionen auf Mannigfaltigkeiten zu definieren. Sei der Raum der glatten Schnitte mit kompaktem Träger. So kann man eine von f induzierte Distribution
definieren durch
Aus diesem Grund setzt man
Dies ist der Raum der glatten Schnitte mit kompaktem Träger, welcher analog zum Raum der Testfunktionen mit kompaktem Träger definiert ist. Der Raum der Distributionen ist dann analog zur reellen Analysis als topologischer Dualraum definiert. Man setzt also
Literatur
- Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds, World Scientific Pub Co
- S. Simanca: Pseudo-differential operators, Pitman Research Notes in Mathematics, 236. Harlow: Longman Scientific & Technical; New York: John Wiley & Sons Ltd., 1990
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