- Dichtebündel
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Ein Dichtebündel ist ein Spezialfall eines Vektorbündels und wird im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie untersucht. Mit Hilfe dieser Bündel kann man einige aus der Analysis bekannte Objekte auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. So kann man ähnlich wie mit Differentialformen einen koordinaten-invarianten Integralbegriff auf Mannigfaltigkeiten definieren. Man findet mit Hilfe dieser Bündel Verallgemeinerungen der Lp-Räume und der Distributionenräume auf Mannigfaltigkeiten.
Inhaltsverzeichnis
Definition
r-Dichte
Sei V ein reeller, n-dimensionaler Vektorraum und mit ΛnV wird die n-te äußere Potenz des Vektorraums V notiert. Für jedes
definiert man eine r-Dichte als eine Funktion
, so dass
- f(λu) = | λ | rf(u)
für alle
und für alle
gilt. Der Vektorraum der r-Dichten wird mit | V | r notiert.
r-Dichtebündel
Sei M eine glatte, n-dimensionale Mannigfaltigkeit und
eine reelle Zahl. Mit
wird der Raum der globalen Schnitte auf einem Vektorbündel notiert.
Analog zur obigen Definition ist eine r-Dichte auf einer Mannigfaltigkeit eine Abbildung
mit
- μ(λu) = | λ | rμ(u)
für alle
und für alle glatten Funktionen
.
Das Vektorbündel der r-Dichten ist dann definiert durch
- | Λn(M) | r: = | Λn(TM) | r.
Mit TM wird das Tangentialbündel bezeichnet.
Pullback
Für
induziert eine glatte Abbildung
zwischen zwei glatten n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten einen Pullback
welcher für alle
durch
definiert ist. Dabei ist ϕ * der Pushforward von ϕ, sind M und N reelle Untermannigfaltigkeiten so ist ϕ * die totale Ableitung von ϕ.
Dualraum
- Sei M wieder eine glatte Mannigfaltigkeit. Da der Vektorraum der 0-Dichten | ΛnTpM | 0 nur aus den konstanten Funktionen besteht, gilt für das entsprechende Dichtebündel
- Für
gilt die Isomorphie
- Aus den Eigenschaften 1. und 2. folgt
und daher ist | Λn(M) | α der Dualraum von | Λn(M) | − α und man schreibt
Integration auf Mannigfaltigkeiten
Eins-dichten sind insbesondere deshalb wichtig, weil sie (koordinatenunabhängig) auf Mannigfaltigkeiten integriert werden können. Ihr Vorteil gegenüber Differentialformen, welche auch diese Eigenschaft haben, ist, dass man Dichten auch auf nicht orientierbaren Mannigfaltigkeiten integrieren kann.
Definition
Sei also M eine glatte Mannigfaltigkeit und sei
eine 1-Dichte. Dann ist das Integral
von μ über M wie folgt definiert. Sei
eine endliche Familie von Karten, welche
überdecken. Und sei
eine subordinierte Zerlegung der Eins. Dann setze
Die rechte Seite ist unabhängig von der Wahl der Karte und der Wahl der Zerlegung der Eins.
Eigenschaften
- Das Integral ist invariant bezüglich Diffeomorphismen. Das heißt für alle glatten Mannigfaltigkeit M und N der gleichen Dimension n und jeden Diffeomorphismus
und jede 1-Dichte
gilt
∫ ϕ * μ = ∫ μ. M N - Das Integral ist lokal, das heißt für jede Teilmenge
und jede 1-Dichte
mit
gilt
∫ μ = ∫ μ. M U - Für jedes
gilt
Das rechte Integral ist ein normales Lebesgueintegral einer glatten Funktion mit kompaktem Träger.
L1-Raum
Sei
eine messbare 1-Dichte mit kompaktem Träger. Existiert das Integral
∫ | μ | M , so nennt man μ einen L1-Schnitt dessen Norm durch
gegeben ist. Die Vervollständigung dieser Menge bezüglich der gegebenen Norm liefert den Raum L1(M, | Λn(M) | 1). Ist die Mannigfaltigkeit kompakt, so bewirkt die Vervollständigung nichts.
Lp-Räume
Seien nun
und
und eine der beiden Dichten habe kompakten Träger. Dann ist aufgrund der Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum
und hat kompakten Träger. Somit ist
integrierbar.
Ist
∫ | μ | p M integrierbar so spricht man analog von einem Lp-Schnitt dessen Norm durch
gegeben ist. Die Vervollständigung liefert den Raum
Ebenfalls wieder wegen Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum ist der Raum
mit
der Dualraum zu
Beispiele
Koordinatentransformation
Sei
die zu betrachtenden Mannigfaltigkeit und sei
die kanonische Basis des Tangentialraums
, dann ist
eine Basis von
Es gibt dann einen glatten nirgends verschwindenden Schnitt
welcher durch
definiert ist. Für jede glatte Abbildung
ist μ = f | dνn | eine glatte 1-Dichte. Das Leser kann das Objekt | dνn | als das Lebesgue-Maß verstehen.
Sei
ein glatter Diffeomorphismus, dann gilt
Dabei bezeichnet
die Jacobi-Matrix von ϕ. Diesen Zusammenhang findet man auch bei der Koordinatentransformation von Integralen, vergleich dazu auch Transformationssatz.
Tensordichte
Ersetze in der Definition von | Λn(M) | r: = | Λn(TM) | r das Tangentialbündel TM durch das Tensorbündel
Dann heißt das davon induzierte Dichtebündel
das r-Tensordichtebündel. Im Fall r = 0 heißen die Elemente Tensorfelder.
Distributionen
Da man wie weiter oben im Artikel beschrieben 1-Dichten über Teilmengen einer Mannigfaltigkeit integrieren kann, erlaubt dies nun Distributionen auf Mannigfaltigkeiten zu definieren. Sei
der Raum der glatten Schnitte
mit kompaktem Träger. So kann man eine von f induzierte Distribution
definieren durch
Aus diesem Grund setzt man
Dies ist der Raum der glatten Schnitte mit kompaktem Träger, welcher analog zum Raum der Testfunktionen mit kompaktem Träger definiert ist. Der Raum der Distributionen ist dann analog zur reellen Analysis als topologischer Dualraum definiert. Man setzt also
Literatur
- Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds, World Scientific Pub Co
- S. Simanca: Pseudo-differential operators, Pitman Research Notes in Mathematics, 236. Harlow: Longman Scientific & Technical; New York: John Wiley & Sons Ltd., 1990
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