Hotellings T-Quadrat-Verteilung

Die Hotellings T-Quadrat Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1931 von Harold Hotelling erstmals beschrieben wurde.^[1] Sie ist eine Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung.

Definition

Hotellings T-Quadrat-Verteilung ist definiert als

$t^2=n({\mathbf x}-{\mathbf\mu})'{\mathbf W}^{-1}({\mathbf x}-{\mathbf\mu})$

mit

• n einer Anzahl von Punkten
• ${\mathbf x}$ ist ein Spaltenvektor mit p Elementen
• ${\mathbf W}$ ist eine $p\times p$-Kovarianzmatrix.

Eigenschaften

Es sei $x\sim N_p(\mu,{\mathbf V})$ eine Zufallsvariable mit einer multivariaten Normalverteilung und ${\mathbf W}\sim W_p(m,{\mathbf V})$ (unabhängig von x) habe eine Wishart-Verteilung mit einer nicht-singulären Varianz-Matrix $\mathbf V$ und mit m = n − 1. Dann ist die Verteilung von t²: T²(p,m), Hotellings T-Quadrat-Verteilung mit Parametern p und m.

F sei die F-Verteilung. Dann kann gezeigt werden, dass gilt:

$\frac{m-p+1}{pm} T^2\sim F_{p,m-p+1}$.

Unter der Annahme, dass

${\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_n$

p×1-Spaltenvektoren mit reellen Zahlen sind.

$\overline{\mathbf x}=(\mathbf{x}_1+\cdots+\mathbf{x}_n)/n$

sei der Mittelwert. Die positiv definite p×p-Matrix

${\mathbf W}=\sum_{i=1}^n (\mathbf{x}_i-\overline{\mathbf x})(\mathbf{x}_i-\overline{\mathbf x})'/(n-1)$

sei ihre „sample variance“-Matrix. (Die Transponierte einer Matrix M sei mit M′ bezeichnet). μ sei ein p×1-Spaltenvektor (bei Anwendung ein Schätzer des Mittelwertes). Dann ist die Hotellings T-Quadrat-Verteilung

$t^2=n(\overline{\mathbf x}-{\mathbf\mu})'{\mathbf W}^{-1}(\overline{\mathbf x}-{\mathbf\mu}).$

t² hat eine enge Beziehung zur quadrierten Mahalanobis-Distanz.

Insbesondere kann gezeigt werden ^[2], dass, wenn ${\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_n\sim N_p(\mu,{\mathbf V})$ unabhängig sind und $\overline{\mathbf x}$ und ${\mathbf W}$ wie oben definiert sind, dann hat ${\mathbf W}$ eine Wishart-Verteilung mit n −1 Freiheitsgraden

$\mathbf{W} \sim W_p(V,n-1)$ und ist unabhängig von

$\overline{\mathbf x}$ und

$\overline{\mathbf x}\sim N_p(\mu,V/n)$.

Daraus folgt

$t^2 = n(\overline{\mathbf x}-{\mathbf\mu})'{\mathbf W}^{-1}(\overline{\mathbf x}-{\mathbf\mu}) \sim T^2(p, n-1).$

Einzelnachweise

1. ↑ H. Hotelling (1931) The generalization of Student’s ratio, Ann. Math. Statist., Vol. 2, pp360-378.
2. ↑ K.V. Mardia, J.T. Kent, and J.M. Bibby (1979) Multivariate Analysis, Academic Press.

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta