Grundgesamtheitsmittelwert

Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig Mittelwert) ist ein Begriff der Stochastik. Der Erwartungswert ($\operatorname{E}(X)$ oder μ) einer Zufallsvariablen (X) ist jener Wert, der sich (in der Regel) bei oftmaligem Wiederholen des zugrunde liegenden Experiments als Mittelwert der Ergebnisse ergibt. Er bestimmt die Lokalisation (Lage) einer Verteilung und ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik. Das Gesetz der großen Zahlen sichert in vielen Fällen zu, dass der Stichprobenmittelwert bei wachsender Stichprobengröße gegen den Erwartungswert konvergiert.

Ein Erwartungswert muss kein mögliches Ergebnis des zugrunde liegenden Zufallsexperiments sein. Insbesondere kann der Erwartungswert die Werte $\pm \infty$ annehmen.

Definitionen

Allgemein wird der Erwartungswert als das Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert: Ist X eine P-integrierbare oder quasiintegrierbare Zufallsvariable von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P) nach $(\overline{\R},\mathcal{B})$, wobei $\mathcal{B}$ die Borelsche σ-Algebra über $\overline{\R}:=\R\cup\{-\infty,\infty\}$ ist, so definiert man

$\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X \,\mathrm{d}P = \int_\Omega X(\omega)P(\mathrm{d}\omega)\,$.

Ist eine Zufallsvariable diskret oder besitzt sie eine Dichte, so existieren einfachere Formeln für den Erwartungswert, die im Folgenden aufgeführt sind.

Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen

Im diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als die Summe der Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den „Werten“ dieser Ergebnisse.

Ist X eine diskrete Zufallsvariable, die die Werte x₁, x₂, ... mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten p₁, p₂, ... annimmt, errechnet sich der Erwartungswert $\operatorname{E}(X)$ zu:

$\operatorname{E}(X)=\sum_{i} x_i p_i=\sum_{i} x_i P(X=x_i)$

Sonderfall: abzählbar unendlich viele Werte einer diskreten Zufallsvariablen

Nimmt die Zufallsvariable X abzählbar unendlich viele Werte an, dann liegt eine unendliche Reihe vor. In diesem Fall existiert der Erwartungswert $\operatorname{E}(X)$ nur, wenn die Konvergenzbedingung

$\sum_{i=1}^\infty |x_i|p_i <\infty$ erfüllt ist, d. h. die Summe für den Erwartungswert absolut konvergent ist.

Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen mit Dichtefunktion

Hat eine Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f, so berechnet sich der Erwartungswert zu

$\operatorname E(X)=\int_{-\infty}^\infty x f(x)\,\mathrm{d}x.$

Der Erwartungswert existiert nur, wenn das Integral für den Erwartungswert absolut konvergent ist, d. h. wenn das Integral $\int_{-\infty}^\infty \left| x \right| f(x)\,\mathrm{d}x$ konvergiert.

Beispiel

Gegeben ist die Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion

$f(x) = \begin{cases} \frac 1x & 3 \le x \le 3e \\ 0 & \text {sonst} \end{cases}$

Der Erwartungswert berechnet sich als

$\begin{align} \operatorname E(X)&= \int_{-\infty}^\infty x f(x)\,\mathrm{d}x\\ &= \int_{-\infty}^3 x \cdot 0\,\mathrm{d}x + \int_3^{3e} x \cdot \frac 1x\,\mathrm{d}x + \int_{3e}^\infty x \cdot 0 \,\mathrm{d}x\\ &= 0 + \int_3^{3e} 1\,\mathrm{d}x + 0\\ &= [x]^{3e}_3\\ &= 3e-3. \end{align}$

Erwartungswert von zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion

Haben eine Zufallsvariable X und eine Zufallsvariable Y eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x,y), so berechnet sich der Erwartungswert einer Funktion g(X,Y) von X und Y zu

$\operatorname{E}(g(X,Y))=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x,y) f(x,y)\,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y.$

Der Erwartungswert existiert nur, wenn das Integral $\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \left| g(x,y) \right| f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ konvergiert.

Insbesondere ist:

$\operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

Aus der Randdichte errechnet sich der Erwartungswert wie bei univariaten Verteilungen:

$\operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty x f(x)\,\mathrm{d}x$

Beispiele

Würfeln

Das Experiment sei ein Würfelwurf. Als Zufallsvariable X betrachten wir die gewürfelte Augenzahl, wobei jede der Zahlen 1 bis 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/6 gewürfelt wird.

$\operatorname{E}(X)=\sum_{i=1}^6 i\cdot \frac{1}{6} = 3{,}5$

Wenn man beispielsweise 1000 Mal würfelt, d. h. das Zufallsexperiment 1000 mal wiederholt, die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3,5. Es ist jedoch unmöglich, diesen Wert mit einem einzigen Würfelwurf zu erzielen.

St. Petersburger Spiel

Das sogenannte St. Petersburger Spiel ist ein Spiel, dessen zufälliger Gewinn X einen unendlichen Erwartungswert hat. Man werfe eine Münze, zeigt sie Kopf, erhält man 2 Euro, zeigt sie Zahl, darf man nochmals werfen. Wirft man nun Kopf, erhält man 4 Euro, wirft man wieder Zahl, so darf man ein drittes Mal werfen usw. Der Erwartungswert des Gewinnes X ist unendlich:

$\operatorname{E}(X)= 2\cdot\frac{1}{2} + 4\cdot\frac{1}{4} + 8\cdot\frac{1}{8} + \cdots = 1 + 1 + \cdots = \infty.$

Rechenregeln

Der Erwartungswert ist linear, da das Integral ein linearer Operator ist. Daraus ergeben sich die folgenden zwei sehr nützlichen Regeln:

Erwartungswert der Summen von n Zufallsvariablen

Der Erwartungswert der Summe von n Zufallsvariablen (X_i) lässt sich berechnen als die Summe der einzelnen Erwartungswerte:

$\operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)=\sum_{i=1}^n\operatorname{E}(X_i)$

Lineare Transformation

Für die Lineare Transformation $Y=kX + d\,$ gilt

$\operatorname{E}(Y)=\operatorname{E}(kX+d)=k\operatorname{E}(X)+d$,

insbesondere auch

$\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X).$

Erwartungswert des Produkts von n Zufallsvariablen

Wenn die Zufallsvariablen X_i stochastisch voneinander unabhängig sind, gilt:

$\operatorname{E}\!\left(\prod X_{i}\right) = \prod \operatorname{E}(X_{i})$

Wahrscheinlichkeiten als Erwartungswerte

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen lassen sich auch über den Erwartungswert ausdrücken. Für jedes Ereignis A gilt

$\operatorname{P}(A) = \operatorname{E}(\mathrm1_A)\,$,

wobei 1_A die Indikatorfunktion von A ist.

Dieser Zusammenhang ist oft nützlich, etwa zum Beweis der Tschebyschow-Ungleichung.

Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen

Wenn Y = g(X) wieder eine Zufallsvariable ist, so kann man den Erwartungswert von Y mittels

$\operatorname{E}(Y)=\int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)\,\mathrm{d}x$

berechnen. Auch in diesem Fall existiert der Erwartungswert nur, wenn

$\int_{-\infty}^\infty \left| g(x) \right| f(x)\,\mathrm{d}x$

konvergiert. Bei einer diskreten Zufallsvariable verwendet man eine Summe:

$\operatorname{E}(Y)=\sum_i g(x_i) \cdot p_i.$

Ist die Summe nicht endlich, dann muss die Reihe absolut konvergieren, damit der Erwartungswert existiert.

Quantenmechanischer Erwartungswert

Ist $\psi(r,t)=\langle r|\psi(t)\rangle$ die Wellenfunktion eines Teilchens in einem bestimmten Zustand $|\psi(t)\rangle$ und ist $\hat O$ ein Operator, so ist

$\langle \hat O \rangle_{|\psi(t)\rangle}:= \langle\psi(t)|\hat O |\psi(t)\rangle= \int_{M^2} d^n r d^n r^\prime \psi^\star (r,t)\langle r|\hat O|r^\prime\rangle\psi(r^\prime,t)$

der quantenmechanische Erwartungswert von $\hat O$ im Zustand $|\psi(t)\rangle$. M ist hierbei der Ortsraum, in dem sich das Teilchen bewegt, n ist die Dimension von M, und ein hochgestellter Stern steht für komplexe Konjugation.

Lässt sich $\hat O$ als formale Potenzreihe $O(\hat r,\hat p)$ schreiben (und das ist oft so), so verwendet man die Formel

$\langle \hat O\rangle_\psi = \int_M d^n r \psi^\star(r,t) O(r,\frac{\hbar}{i}\nabla_r)\psi(r,t).$

Der Index an der Erwartungswertsklammer wird nicht nur wie hier abgekürzt, sondern manchmal auch ganz weggelassen.

Beispiel

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Ortsdarstellung ist

$\langle\hat r\rangle = \int_M d^n r\psi^\star(r,t)r\psi(r,t)= \int_M d^n r r|\psi(r,t)|^2 =\int_M d^d r rf(r,t),$

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Impulsdarstellung ist

$\langle\hat r\rangle = \int_M d^n p\Psi^\star(p,t)i\hbar\vec\nabla_p\Psi(r,t)$

wobei wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Quantenmechanik im Ortsraum identifiziert haben. In der Physik schreibt man ρ (rho) statt f.

Erwartungswert von Matrizen

Ist X eine $m \times n$ Matrix, dann ist der Erwartungswert der Matrix definiert als:

$\operatorname{E}\left(X\right) = \operatorname{E}\left( \begin{bmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,n} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,n} \\ \vdots \\ x_{m,1} & x_{m,2} & \cdots & x_{m,n} \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} \operatorname{E}(x_{1,1}) & \operatorname{E}(x_{1,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{1,n}) \\ \operatorname{E}(x_{2,1}) & \operatorname{E}(x_{2,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{2,n}) \\ \vdots \\ \operatorname{E}(x_{m,1}) & \operatorname{E}(x_{m,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{m,n}) \end{bmatrix}$

Siehe auch

• Varianz
• Parameter (Statistik)
• Moment
• Momenterzeugende Funktion
• Charakteristische Funktion (Stochastik)
• Bedingter Erwartungswert

Literatur

• Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9

Weblinks

• Erwartungswert Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Erwartungswert