Heisenbergmodell

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Das Heisenberg-Modell in der quantenmechanischen Formulierung ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung von Ferromagnetismus (sowie Anti-Ferromagnetismus & Ferrimagnetismus) in Festkörpern. 1929 haben Werner Heisenberg^[1] und Paul Dirac ^[2] erkannt, dass Ferromagnetismus in einem Festkörper durch einen effektiven Hamiltonoperator beschrieben werden kann, der lediglich aus wechselwirkenden lokalisierten Elektronenspins auf einem Gitter (dem Kristallgitter) aufgebaut ist. Die Wechselwirkung ist dabei (zunächst) reduziert auf benachbarte Spins (nächste Nachbarwechselwirkung):

$H_{\text{Heis}}=-J\sum_{<i,j>}\vec{S_i}\vec{S_j} \qquad \text{mit } i,j\; \mathrm{n\ddot achste}\text{ Nachbarn}$

Die Austauschwechselwirkung zwischen den lokalisierten Spins wird durch die Coulomb-Abstoßung und das Pauli-Prinzip verursacht und wird mittels der Kopplungskonstante J ausgedrückt. Das Modell ist geeignet um Ferromagnetismus in Isolatoren qualitativ zu beschreiben, versagt aber bei den meisten Metallen (hier ist das Hubbard-Modell besser geeignet). Das Heisenberg-Modell ist ein Spezialfall des n-Vektor-Modells mit n = 3. Das Modell kann in einer Dimension exakt gelößt werden. In zwei und drei Dimensionen gibt es lediglich genäherte Lösungen z. B. mittels Quanten-Monte-Carlo-Methoden. Im Gegensatz zum klassischen Heisenberg-Modell werden die Spins mittels Spinoperatoren ausgedrückt und gehorchen den Regeln der Quantenmechanik.

Erläuterungen zum Modell

Der Ferromagnetismus von Isolatoren wird bewirkt von lokalisierten magnetischen Momenten, die einer unvollständig gefüllten Elektronenschale (3d-, 4d, 4f oder 5f) zuzuschreiben sind. Diesen lokalisierten magnetischen Momenten $\vec{m}_i$ ist ein Drehimpuls $\vec{J}_i$ zugeordnet, welcher mit dem jeweiligen Spin $\vec{S}_i$ ausgedrückt werden kann:

$\vec{m_i}=\mu_{\mathrm B} g_J \vec{J_i}=\mu_{\mathrm B} g_J \frac{\vec{S_i}}{g_J-1}$

Der Spinvektor $\vec{S_i}$ ist gegeben über die Spin-1/2-Operatoren, g_J ist der Landé-Faktor und μ_B ist das Bohrsches Magneton. Die Austauschwechselwirkung zwischen den magnetischen Momenten kann so mittels der der zugehörigen Spins ausgedrückt werden. Die Austauschwechselwirkung simuliert also die Coulombabstoßung und das Pauliprinzip. Die Kopplungskonstante J zwischen den lokalisierten Spins werden daher auch Austauschintegrale genannt. Man nimmt an, dass die Austauschintegrale nur für benachbarte Spins merklich von null verschieden sind. Insgesamt erhält man so also einen effektiven Hamiltonoperator der darauf ausgelegt ist lediglich den Ferromagnetismus bei Isolatoren zu erklären.

$\begin{align} H_{\text{Heis}}&=-J\sum_{<i,j>}\vec{S_i}\vec{S_j} \qquad \text{mit } i,j\; \mathrm{n\ddot achste}\text{ Nachbarn}\\ &=-J\sum_{<i,j>}\left(S^x_iS^x_j+S^y_iS^y_j+S^z_iS^z_j\right) \\ &=-J\sum_{<i,j>}\left[\frac{1}{2}\left(S^+_iS^-_j+S^-_iS^+_j\right)+S^z_iS^z_j\right] \end{align}$

Verallgemeinerungen des Modells

Das Heisenberg-Modell kann verallgemeinert werden, indem man die Kopplungskonstante richtungsabhängig macht.

$\begin{align} H_{\text{verallg. Heis}}&=-\sum_{<i,j>}\left( J^x S^x_iS^x_j+J^y S^y_iS^y_j+J^z S^z_iS^z_j \right) \qquad \text{mit } i,j\; \mathrm{n\ddot achste}\text{ Nachbarn} \end{align}$

Ein Spezialfall des verallgemeinerten Heisenberg-Modells ist das XXZ-Modell, welches erzeugt wird durch die Setzung von J = J_x = J_y und J_z = Δ:

$\begin{align} H_{\text{XXZ}}&=-\sum_{<i,j>}\left[ J\left( S^x_iS^x_j+S^y_iS^y_j \right)+\Delta S^z_iS^z_j \right] \qquad \text{mit } i,j\; \mathrm{n\ddot achste}\text{ Nachbarn}\\ &=-\sum_{<i,j>}\left[\frac{J}{2}\left(S^+_iS^-_j+S^-_iS^+_j\right)+\Delta S^z_iS^z_j\right] \end{align}$

Das Heisenberg-Modell und seine Spezialfälle werden oft im Zusammenhang mit einem angelegten Magnetfeld h = g_Jμ_BB₀ in z-Richtung betrachtet. Der Hamiltonian lautet dann:

$\begin{align} H_{\text{verallg. Heis,h}}&=-\sum_{<i,j>}\left( J^xS^x_iS^x_j+J^yS^y_iS^y_j+J^zS^z_iS^z_j\right) - h \sum_i S^z_i \end{align}$

Eine weitere Verallgemeinerung beinhaltet die Einbeziehung von Kopplungen nicht nur zwischen nächsten Nachbarn und einer inhomogenen Kopplungskonstante $J\rightarrow J_{ij}$:

$\begin{align} H_{\text{verallg. Heis, inhom.}}&=-\sum_{i,j}\left( J_{ij}^xS^x_iS^x_j+J_{ij}^yS^y_iS^y_j+J_{ij}^zS^z_iS^z_j\right) \quad \text{mit } i,j\;\mathrm{Gitterpl\ddot atze} \end{align}$

Die Zusammenhänge zum Ising-Modell und zum XY-Modell sind am Besten im N-Vektor-Modell zu sehen.

Modell im k-Raum

Zur Analyse des Modells und zur Betrachtung der Anregungen ist es sinnvoll, dass Modell im k-Raum zu betrachten. Die Transformation (diskrete Fouriertransformation) für die Spinoperatoren a = {x,y,z, + , − } lautet:

$S^a(\vec{k})=\sum_i e^{i\vec{k}\cdot \vec{R}_i}S^a_i$

Das verallgemeinerte Heisenbergmodells im Magnetfeld ohne Richtungsabhängigkeit $(J^x_{ij}=J^y_{ij}=J^z_{ij})$ mit J_ij = J_ji und J_ii = 0 läßt sich dann schreiben als:

$\begin{align} H_{\text{heis,k}}&=-\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}J(\vec{k})\left( S^+(\vec{k})S^-(-\vec{k})+S^z(\vec{k})S^z(-\vec{k})\right)-hS^z(0) \end{align}$

wobei auch die Austauschintegrale wellenzahlabhängig sind:

$J(\vec{k})=\frac{1}{N}\sum_{ij} J_{ij} e^{i\vec{k}\cdot (\vec{R}_i-\vec{R}_j)}$

Grundzustand

In diesem Abschnitt wird der Grundzustand des verallgemeinerte Heisenberg-Modells im Magnetfeld ohne Richtungsabhängigkeit betrachtet. Der Grundzustand ist der Eigenzustand des Systems mit geringster Energie. Dieser ist stark abhängig von Vorzeichen der Kopplungskonstante J.

$\begin{align} \text{alle}\qquad J_{ij}>0 & \qquad\text{Ferromagnet}\\ \text{alle}\qquad J_{ij}<0 & \qquad\text{Anti-Ferromagnet/Ferrimagnet} \end{align}$

Unter eine Drehung aller Spinvektoren ändert sich das Heisenberg-Modell nicht, es ist also invariant unter einer Rotation. Für J > 0 ist es für die Spins energetisch günstiger sich in dieselbe Richtung auszurichten und man spricht von einem ferromagnetischer Grundzustand. Aufgrund der Rotationsinvarianz ist keine Richtung ausgezeichnet, daher wird die Ausrichtung in z-Richtung angenommen. Die Richtung im Festkörper wird durch Anisotropien oder durch ein schwaches angelegtes Magnetfeld bestimmt. Im ferromagnetischen Grundzustand $|F\rangle$ sind alle Spins ausgerichtet in eine Richtung. Spezialisiert man noch

J0 =	∑	Jij =	∑	Jij
	i		j

dann kann die Grundzustandsenergie angeben werden als:

$\begin{align} &H |F\rangle=E_0|F\rangle \\ \text{mit} \qquad &E_0=-NJ_0\hbar^2S^2-NhS \end{align}$

Dabei wurde der Eigenwert des $S^z_i$-Operators als $S^z_i|F\rangle=\hbar S|F\rangle$ benutzt. Für das Spin-1/2-Heisenberg-Modell ist S = 1 / 2.

Für J < 0 ist es energetisch günstiger, wenn benachbarte Spins in unterschiedliche Richtungen zeigen. Der Grundzustand ist daher stark vom unterliegenden Kristallgitter abhängig. Dieser kann dann antiferromagnetisch oder ferrimagnetisch sein. Für spezielle Kristallgitter kann es auch zu magnetischer Frustration kommen.

Magnonen und Spinwellen

In diesem Abschnitt werden die Anregungen aus dem ferromagnetischen Grundzustand des verallgemeinerte Heisenberg-Modells im Magnetfeld ohne Richtungsabhängigkeit betrachtet. Die Anregungszustände werden dem Quasiteilchen Magnon zugeordnet. Es handelt sich dabei um kollektive Anregungen des gesamten Kristallgitters und diese werden demnach auch als Spinwellen bezeichnet.

Die Eigenzustände des $S^-(\vec{k})$-Operators sind ebenfalls Eigenzustände des Hamiltonians, da $S^-(\vec{k})$ und H kommutieren:

$[H_{\text{heis,k}},S^-(\vec{k})]=0$

Die einmalige Anwendung des $S^-(\vec{k})$-Operators auf den ferromagnetischen Grundzustand gibt also einen angeregten Eigenzustand des Heisenberg-Modells und wird (normierter) Ein-Magnonenzustand genannt:

$|\vec{k}\rangle=\frac{1}{\hbar\sqrt{2SN}}S^-(\vec{k})|F\rangle$

die zugehörige Energie des Zustands ist gegeben als:

$E(\vec{k})=E_0+\hbar \omega(\vec{k}) \qquad \text{mit} \qquad \hbar \omega(\vec{k})=\hbar h +2S\hbar^2(J_0-J(\vec{k}))$

die Anregungsenergie $\hbar \omega(\vec{k})$ wird dem Quasiteilchen Magnon zugeschrieben. Betrachtet man den Erwartungswert des $S^z_i$-Operators auf diesen Zustand so erhält man:

$\langle\vec{k}|S^z_i|\vec{k}\rangle=\hbar\left(S-\frac{1}{N}\right)$

Dabei ist die linke Seite der Gleichung nicht mehr vom Platz i abhängig. Anschaulich bedeutet dies, dass die Anregung aus dem Grundzustand (Ein-Magnonenzustand) nicht durch das einfache Umklappen eines Spins auf einem Gitterplatz erzeugt wird, sondern dass der Ein-Magnonenzustand über das Gitter gleichmäßig verteilt ist. Daher wird der Zustand $|\vec{k}\rangle$ als kollektive Anregung angesehen und als Spinwelle bezeichnet.

1D-Heisenberg-Modell

Im eindimensionalen Heisenberg-Modell sind die Spins aufgereiht auf einer Kette. Bei periodischen Randbedingungen ist die Kette zu einem Ring geschlossen. Die Eigenzustände und Eigenenergien für das eindimensionale Heisenberg-Modell wurden 1931 von Hans Bethe^[3] mit dem Bethe-Ansatz exakt bestimmt.

Eigenvektoren und Eigenzustände

Da der $S_z^\text{tot}$-Operator mit dem Hamiltooperator kommutiert zerfällt der gesamte Hilbertraum in verschiedene Unterräume, die einzeln diagonalisiert werden können.

$[S_z^\text{tot},H]=\sum^N_{i=1}[S^z_i,H]=0$

Die verschieden Unterräume können durch ihre $S_z^\text{tot}=-N \dots N$ Quantenzahlen beschrieben werden. Das heißt, dass die Eigenvektoren Superpositionen aus Basiszuständen mit derselben $S_z^\text{tot}$ Quantenzahl sind. Im Bethe-Ansatz werden diese Zustände mittels der umgeklappten Zustände vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert. Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins (also$S^\text{tot}_z=N-2$) an den Gitterplätzen n₁ und n₂ angegeben als:

$|n_1n_2\rangle = |\uparrow\uparrow\underbrace{\downarrow}_{n_1}\uparrow \dots \uparrow\underbrace{\downarrow}_{n_2} \uparrow \dots \uparrow\rangle$

Die Eigenvektoren in einem Unterraum mit einer S_z Quantenzahl S_z = N − r sind Superpositionen aus allen möglichen Zuständen $|n_1, n_2, \dots, n_{N-r}\rangle$

$|\Psi\rangle = \sum^N_{n1 &amp;amp;lt; n2 &amp;amp;lt; \dots &amp;amp;lt; n_r}a(n_1, n_2, \dots, n_r)|n_1, n_2, \dots, n_r\rangle$

die Koeffizienten sind ebene Wellen und durch den Bethe-Ansatz gegeben.

$a(n_1, \dots, n_r) = \sum_{P\in S_r}\exp\left(i\sum^r_{j=1}k_{P_j}n_j+i\sum_{i&amp;amp;lt;j}\theta_{P_iP_j} \right)$

Die Parameter können über die Bethe-Ansatz Gleichungen bestimmt werden

$\begin{alignat} \cdot 2 \cot \frac{\theta_{ij}}{2}&amp;amp;amp;=\cot\frac{k_i}{2}-\cot\frac{k_j}{2} &amp;amp;amp;\qquad \text{mit}\quad&amp;amp;amp; i,j = 1, \dots, r \\ Nk_i&amp;amp;amp;=2\pi\lambda_i+\sum_{j \neq i}\theta_{ij}&amp;amp;amp;&amp;amp;amp;\lambda_i = {1, \dots, N-1} \end{alignat}$

Die Eigenvektoren sind gegeben mit allen Kombinationen der Bethe Quantenzahlen $(\lambda_1, \dots,\lambda_r)$, die die Bethe Ansatz Gleichungen erfüllen. Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also über die Bethe Quantenzahlen möglich. Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial. Diezugehörige Energie des Zustands ist gegeben als:

$(E-E_0)=J\sum^r_{j=1}(1-\cos k_j)$

Jordan-Wigner-Transformation

Das 1D-Heisenberg-Modell kann bei periodischen Randbedingungen mittels einer Jordan-Wigner-Transformation auf spinlose Fermionen auf einer Kette mit lediglich nächster Nachbarwechselwirkung abgebildet werden. Der Hamiltonian H_Heis des 1D-Heisenberg Modells kann demnach geschrieben werden als:

$\begin{align} H_{\text{Heis}}&amp;amp;amp;=-J\sum^N_{n=1}\vec{S}_n\cdot \vec{S}_{n+1}=-J\sum^N_{n=1}\left[\frac{1}{2}(S_n^+S^-_{n+1} + S_n^-S^+_{n+1})+S^z_nS^z_{n+1} \right] \\ &amp;amp;amp;= -J\sum^N_{i=1}\left[ \left(c^\dagger_i c_{i+1} +\text{h.c}\right) + \left( c^\dagger_i c_i - \frac{1}{2}\right)\left(c^\dagger_{i+1} c_{i+1} - \frac{1}{2}\right) \right]\\ &amp;amp;amp;= H_0 + H_J \end{align}$

Die $c_i,c^\dagger_i$ sind Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für spinlose Fermionen.

Literatur

• Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik 7 - Viel-Teilchen-Theorie, Springer Verlag

Quellen

1. ↑ W. Heisenberg, Z. Phys. 38, 441 (1926)
2. ↑ P. Dirac, Proc. Roy. Soc. London 112A, 661 (1926)
3. ↑ H. Bethe, Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette. (On the theory of metals. I. Eigenvalues and eigenfunctions of the linear atom chain), Zeitschrift für Physik A, Vol. 71, pp. 205-226 (1931). SpringerLink.