Ausdehnungskoeffizient

Der Ausdehnungskoeffizient oder Wärmeausdehnungskoeffizient ist ein Kennwert, der das Verhalten eines Stoffes bezüglich Veränderungen seiner Abmessungen bei Temperaturveränderungen beschreibt - deswegen oft auch thermischer Ausdehnungskoeffizient genannt. Der hierfür verantwortliche Effekt ist die Wärmeausdehnung. Die Wärmeausdehnung ist abhängig vom verwendeten Stoff, es handelt sich also um eine stoffspezifische Materialkonstante. Da die Wärmeausdehnung bei vielen Stoffen nicht gleichmäßig über alle Temperaturbereiche erfolgt, ist auch der Wärmeausdehnungskoeffizient selbst temperaturabhängig und wird deshalb für eine bestimmte Bezugstemperatur oder einen bestimmten Temperaturbereich angegeben.

Es wird zwischen dem thermischen Längenausdehnungskoeffizienten α (auch linearer Wärmeausdehnungskoeffizient oder Wärmedehnung) und dem thermischen Raumausdehnungskoeffizienten γ (auch räumlicher Ausdehnungskoeffizient oder Volumenausdehnungskoeffizient oder kubischer Ausdehnungskoeffizient) unterschieden.

Inhaltsverzeichnis

1 Linearer Ausdehnungskoeffizient
2 Volumenausdehnungskoeffizient
3 Zusammenhang zwischen linearem und Volumenausdehnungskoeffizienten
4 Zweiphasige Werkstoffe
5 Ausdehnungskoeffizienten einiger Stoffe
6 Quellen
7 Literatur
8 Siehe auch

Linearer Ausdehnungskoeffizient

Der lineare Ausdehnungskoeffizient α ist die Proportionalitätskonstante zwischen der Temperaturänderung $d T$ und der relativen Längenänderung $\frac{\text{d}L}{L}$ eines Festkörpers. Mit ihm wird demnach die relative Längenänderung bei einer Temperaturänderung um 1 K beschrieben. Er hat die Einheit K⁻¹ (pro Kelvin) und ist eine stoffspezifische Größe. Mathematisch ergibt sich folgende Definition:

$\alpha = \frac{1}{L} \, \frac{\text{d}L}{\text{d}T}$

Die Längenänderung eines Stabes bei gleichmäßiger Erwärmung oder Abkühlung um die Temperaturdifferenz $Δ T = T - T 0$ kann mit der Lösung der obigen Differentialgleichung berechnet werden, sie lautet:

$L(T) = L(T_0) \cdot \exp \left(\int_{T_0}^{T} \alpha (T) \ \text{d}T \right)$

Bei einem von der Temperatur unabhängigen Ausdehnungskoeffizienten wird daraus zusammen mit $L 0 = L (T 0)$ :

$L = L_0 \cdot \exp (\alpha \cdot \Delta T)$

Für die meisten Anwendungen ist es zweckmäßiger, folgende Näherung zu verwenden, bei der die Exponentialfunktion durch die ersten beiden Glieder ihrer Taylorreihe angenähert wurde:

$L \approx L_0 (1 + \alpha \cdot \Delta T)$

und somit:

$\Delta L \approx \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T$

Bei anisotropen Festkörpern kann auch die Messrichtung einen Einfluss haben, was in Bezug auf die Aussagekraft der Stoffwerte zu beachten ist.

Volumenausdehnungskoeffizient

Der Volumenausdehnungskoeffizient γ hat wie der Längenausdehnungskoeffizient α die Einheit K⁻¹. Er gibt das Verhältnis zwischen der relativen Volumenzunahme $\frac{\text{d}V}{V}$ und der Temperaturänderung $d T$ eines Körpers an. Mathematisch ist er definiert durch:

$\gamma = \frac{1}{V} \left (\frac {\part V}{\part T} \right)_{p,N}$

wobei die den partiellen Ableitungen als Index nachgestellten Größen Druck $p$ und Teilchenzahl $N$ konstant zu halten sind. Die temperaturabhängige Lösung hierfür lautet analog zu oben:

$V(T) = V(T_0) \cdot \exp \left(\int_{T_0}^{T} \gamma (T) \ \mathrm dT \right)$

Bei einem von der Temperatur unabhängigen Volumenausdehnungskoeffizienten ergibt sich zusammen mit $V (T 0) = V 0$ :

$V = V_0 \cdot \exp (\gamma \cdot \Delta T)$

Ebenso wie für den linearen Ausdehnungskoeffizienten kann hier die Linearisierung als Näherung für kleine Temperaturänderungen benutzt werden:

$V \approx V_0 (1 + \gamma \cdot \Delta T)$

Mit einer Maxwell-Relation ist es möglich, den Ausdehnungskoeffizienten mit der Entropie $S$ in Verbindung zu bringen:

$\gamma = \frac{1}{V} \left (\frac {\part V}{\part T} \right)_{p,N} = - \frac{1}{V} \left (\frac {\part S}{\part p} \right)_{T,N}$

Da die Masse $m = \rho(T) \cdot V(T)$ wegen der Massenerhaltung temperaturunabhängig ist, ergibt sich der Ausdehnungskoeffizient aus der Dichte $ρ(T)$ in Abhängigkeit von der Temperatur:

$\gamma = - \frac{1}{\rho} \left (\frac{\part \rho}{\part T} \right)_p$

Ist der Ausdehnungskoeffizient als Funktion der Temperatur bekannt, so ergibt sich die Dichte aus:

$\rho(T) = \rho(T_0) \cdot \exp \left( - \int_{T_0}^{T} \gamma (T) \ \mathrm dT \right)$

Hierbei ist $T 0$ eine beliebige Temperatur, z.B. $T 0$ = 298,15 K = 25°C, bei der die Dichte $ρ(T 0)$ bekannt ist.

Eduard Grüneisen hat gezeigt, dass der Quotient $α / c p$ zwischen dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten $α$ und der spezifischen Wärmekapazität $c p$ näherungsweise unabhängig von der Temperatur ist.

Im Allgemeinen ist der Wärmeausdehnungskoeffizient eine positive Größe. Wegen des Massenerhaltungssatzes geht daher bei den meisten Stoffen eine Temperaturerhöhung mit einer Verringerung der Dichte einher. Manche Stoffe, wie beispielsweise Wasser zwischen 0 und 4°C, zeigen jedoch in einem bestimmten Temperaturbereich ein ungewöhnliches Verhalten, das man als Dichteanomalie bezeichnet. Außerdem gibt es Materialien, wie zum Beispiel einige Arten von Glaskeramik, deren Wärmeausdehnungskoeffizient nahezu null ist.

Der Wärmeausdehnungskoeffizient wird auf empirischem Wege durch Messungen ermittelt und gilt nur für den Stoff und für den Temperaturbereich, an dem beziehungsweise in dem die Messung erfolgte.

Zusammenhang zwischen linearem und Volumenausdehnungskoeffizienten

Für isotrope Festkörper gilt, dass sich die Längenänderung in allen drei Raumrichtungen gleich verhält. Das Volumen eines Kastens ist gegeben durch das Produkt seiner Kantenlängen $V=L_1\cdot L_2\cdot L_3$ . Das vollständige Differential des Volumens lautet dann:

$\mathrm dV = L_1\cdot L_2\cdot \mathrm dL_3 + L_1\cdot L_3\cdot \mathrm dL_2 + L_2\cdot L_3\cdot \mathrm dL_1$

Eingesetzt in die Definition des Volumenausdehnungskoeffizienten ergibt sich:

$\gamma = \frac{1}{V} \frac{\mathrm dV}{\mathrm dT} = \frac{1}{L_3}\frac{\mathrm dL_3}{\mathrm dT}+\frac{1}{L_2}\frac{\mathrm dL_2}{\mathrm dT}+\frac{1}{L_1}\frac{\mathrm dL_1}{\mathrm dT}$

Aufgrund der vorausgesetzten Isotropie sind die drei Terme auf der rechten Seite jeweils gleich dem Längenausdehnungskoeffizienten, es gilt also:

$\gamma = 3 \cdot \alpha$

Für isotrope Festkörper kann das Dreifache des Längenausdehnungskoeffizienten verwendet werden, um die Volumenausdehnung zu berechnen.

Zweiphasige Werkstoffe

Für zweiphasige Werkstoffe, die aus einer Matrixphase und einer eingelagerten oder durchdringenden Phase bestehen, ergibt sich der lineare thermische Ausdehnungskoeffizient aus folgender Formel:

$\alpha = \alpha_M + \frac{(\alpha_I - \alpha_M) \cdot V_I E_I \cdot (1-2 \nu_M)}{V_M E_M \cdot (1 - 2 \nu_I) + V_I E_I \cdot ( 1 - 2 \nu_M)}$

worin die Indizes $M$ und $I$ für die Matrixphase und die eingelagerte Phase stehen und $α M$ bzw. $α I$ die Wärmeausdehnungskoeffizienten, $V M$ bzw. $V I$ die Volumenanteile, $E M$ bzw. $E I$ die Elastizitätsmoduln und $ν M$ bzw. $ν I$ die Querkontraktionszahlen sind.