Binärer Operator

Eine zweistellige Verknüpfung (auch binäre Verknüpfung oder binäre Operation) ist in der Mathematik eine spezielle Art der Verknüpfung, die sich dadurch auszeichnet, dass sie genau zwei Operanden besitzt. Bekannte Beispiele sind die Grundrechenarten wie Addition und Division. Es gibt auch Verknüpfungen mit einer anderen Stelligkeit.

Definition

Eine innere zweistellige Verknüpfung auf einer Menge S ist eine Abbildung des kartesischen Produkts S × S in die Menge S. Die Menge selbst zusammen mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung wird auch Magma genannt. Jedem geordneten Paar aus S wird also ein Element von S zugeordnet. Klassische Beispiele sind die elementaren Rechenoperationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Zweistellige Verknüpfungen sind ein wichtiger Bestandteil von algebraischen Strukturen, die in der abstrakten Algebra untersucht werden. Sie treten auf bei Halbgruppen, Gruppen, Ringen und anderen Strukturen.

Viele binäre Verknüpfungen, die man betrachtet, sind kommutativ oder assoziativ. Viele haben auch ein neutrales Element und inverse Elemente. Typische Beispiele binärer Verknüpfungen sind die Addition und Multiplikation von Zahlen und Matrizen, sowie die Komposition von Funktionen.

Schreibweisen

Binäre Verknüpfungen schreibt man oft in Infix-Notation, wie bei a + b, a · b, anstelle einer Funktionsnotation wie +(a, b). Multiplikationen werden oft ganz ohne Symbol geschrieben: ab = a · b.

Man kann sie aber auch in Präfix- oder Postfix-Notation angeben. Eine Präfixnotation ist z. B. die gewöhnliche Funktionsschreibweise f(a, b). Die bekannteste Postfixnotation ist die Umgekehrte Polnische Notation, die ohne Klammern auskommt.

Beispiele

• Durch $(x,y) \mapsto x+y$ ist eine innere Verknüpfung auf der Menge $\R$ gegeben, da die Addition zweier reeller Zahlen stets eine reelle Zahl ergibt.

• Für eine gegebene Menge M ist die Durchschnittsbildung eine innere Verknüpfung auf der Potenzmenge $\mathcal P(M)$:

$(X,Y) \mapsto X \cap Y$

Äußere binäre Verknüpfung

Eine zweistellige Funktion von K × S nach S nennt man eine äußere zweistellige Verknüpfung. Sie unterscheidet sich von einer zweistelligen Verknüpfung im engeren Sinne dadurch, dass K keine Teilmenge von S sein muss, dass also der erste Operand von außerhalb kommt.

Ein Beispiel dafür ist die skalare Multiplikation in der linearen Algebra. Hier ist K ein Körper und S ein Vektorraum über diesem Körper.

Eine äußere binäre Verknüpfung kann man oft auch als Operation auffassen, K operiert dann auf S.

Äußere (zweistellige) Verknüpfungen erster Art

Abbildungen des Typs $A \times B \to A$ nennt man äußere Verknüpfungen erster Art. Die Menge B wird hierbei als Operatorenbereich bezeichnet.

Beispiel:

• Die Multiplikation eines Vektors aus $\mathbb{R}^n$ mit einem Skalar aus $\mathbb{R}$ ist eine äußere Verknüpfung auf $\mathbb{R}^n$ mit Operatorenbereich $\mathbb{R}$.

Äußere (zweistellige) Verknüpfungen zweiter Art

Äußere Verknüpfungen zweiter Art sind Abbildungen des Typs $A \times A \to B$.

Beispiel:

• Das Skalarprodukt in $\mathbb{R}^n$ ordnet je zwei Vektoren aus $\mathbb{R}^n$ eine reelle Zahl zu und ist somit eine äußere Verknüpfung zweiter Art.

• Ist A ein affiner Raum, der auf einem Vektorraum V modelliert ist, so ist

$A\times A\to V,\quad (P,Q)\mapsto\overrightarrow{PQ}$

eine äußere Verknüpfung zweiter Art.

(Allgemeine zweistellige) Verknüpfungen

Allgemeine zweistellige Verknüpfungen sind Abbildungen des Typs $A \times B \to C$.

Beispiel:

Die Komposition von Abbildungen, die einer Abbildung $f:X\to Y$, und einer Abbildung $g:Y\to Z$ ihre Hintereinanderausführung $g \circ f:X \to Z$ zuordnet. Dabei können die Mengen X, Y, und Z beliebig gewählt werden.