Heisenberg-Modell (Quantenmechanik)

Das Heisenberg-Modell in der quantenmechanischen Formulierung^[1] ist ein in der Theoretischen Physik viel benutztes mathematisches Modell zur Beschreibung von Ferromagnetismus (sowie Antiferromagnetismus und Ferrimagnetismus) in Festkörpern. 1928 haben Werner Heisenberg^[2] und Paul Dirac ^[3] erkannt, dass Ferromagnetismus in einem Festkörper durch einen effektiven Hamiltonoperator beschrieben werden kann, der die quantenmechanischen Ortsfunktionen nicht enthält, da er lediglich aus wechselwirkenden lokalisierten Elektronenspins auf einem Gitter (dem Kristallgitter) aufgebaut ist. Die Wechselwirkung ist dabei (zunächst) reduziert auf benachbarte Spins (nächste-Nachbar-Wechselwirkung):

$H_{\text{Heis}}=-J\sum_{<i,j>}\vec{S_i}\cdot\vec{S_j} \qquad \text{mit } i,j\; \mathrm{n\ddot achste}\text{ Nachbarn}$

Dabei sind die $\vec S_i$ und $\vec S_j$ die bekannten quantenmechanischen Vektoroperatoren zu gegebener Spinquantenzahl s   ($\in$ {1/2, 1, 3/2, 2,...}). Die Indizes i und j beziehen sich auf die Gitterpositionen, wobei unter dem Gitter eine Kette (1-dimensionales Heisenberg-Modell), ein zweidimensionales Gitter (z. B. ein hexagonales Gitter) oder eine dreidimensionale Anordnung (z. B. ein kubisches Gitter) gemeint sein können. Der Spin hingegen ist beim Heisenberg-Modell immer dreidimensional, weshalb es auch als Spezialfall des n-Vektor-Modells mit n = 3 bezeichnet wird.

Ziel der Betrachtung ist es, experimentell beobachtete Effekte wie die spontane Magnetisierung und die kritischen Exponenten an den Phasenübergängen zu modellieren.

Die Austauschwechselwirkung zwischen den lokalisierten Spins wird durch die Coulomb-Abstoßung und das Pauli-Prinzip verursacht und bei Beschränkung auf nächste-Nachbar-Wechselwirkung und Isotropie (siehe unten) mit einer einzigen Kopplungskonstante J, der sogenannten Austauschenergie, ausgedrückt. Das Modell ist geeignet um Ferromagnetismus in Isolatoren qualitativ zu beschreiben, versagt aber bei den meisten Metallen (hier ist das Hubbard-Modell besser geeignet). Das Modell kann durch eine Verallgemeinerung der Heitler-London-Näherung für die Bildung zweiatomiger Moleküle begründet werden (siehe das einschlägige Unterkapitel in Magnetismus). Für eindimensionale Systeme kann es exakt gelöst werden; in zwei und drei Dimensionen gibt es dagegen nur genäherte Lösungen, z. B. mit Quanten-Monte-Carlo-Methoden. Im Gegensatz zum klassischen Heisenberg-Modell werden die Spins durch Operatoren ausgedrückt und gehorchen den Regeln der Quantenmechanik.

Erläuterungen zum Modell

Der Ferromagnetismus von Isolatoren wird bewirkt von lokalisierten magnetischen Momenten, die einer unvollständig gefüllten Elektronenschale (3d-, 4d, 4f oder 5f) zuzuschreiben sind. Diesen lokalisierten magnetischen Momenten $\vec{m}_i$ ist ein Drehimpuls $\vec{J}_i$ zugeordnet, welcher mit dem jeweiligen Spin $\vec{S}_i$ ausgedrückt werden kann:

$\vec{m_i}=\mu_{\mathrm B} g_J \vec{J_i}=\mu_{\mathrm B} g_J \frac{\vec{S_i}} {g_J-1}$

Der Spinvektor $\vec{S_i}$ ist gegeben über die Spin-1/2-Operatoren, g_J ist der Landé-Faktor und μ_B ist das Bohrsches Magneton. Die Austauschwechselwirkung zwischen den magnetischen Momenten kann so durch die zugehörigen Spins ausgedrückt werden. Die Austauschwechselwirkung simuliert also die Coulombabstoßung und das Pauliprinzip. Die Kopplungskonstanten J zwischen den lokalisierten Spins werden daher auch Austauschintegrale genannt. Man nimmt an, dass die Austauschintegrale nur für benachbarte Spins merklich von null verschieden sind. Insgesamt erhält man so also einen effektiven Hamiltonoperator der darauf ausgelegt ist lediglich den Ferromagnetismus bei Isolatoren zu erklären.

$\begin{align} H_{\text{Heis}}&=-J\sum_{<i,j>}\vec{S_i}\cdot\vec{S_j} \qquad \text{mit } i,j\; \mathrm{n\ddot achste}\text{ Nachbarn}\\ &=-J\sum_{<i,j>}\left(S^x_iS^x_j+S^y_iS^y_j+S^z_iS^z_j\right) \\ &=-J\sum_{<i,j>}\left[\frac{1}{2}\left(S^+_iS^-_j+S^-_iS^+_j\right)+S^z_iS^z_j\right] \end{align}$

Verallgemeinerungen des Modells

Das Heisenberg-Modell kann verallgemeinert werden, indem man die Kopplungskonstante richtungsabhängig macht (d.h. indem man von isotropen zu anisotropen Systemen übergeht).

$\begin{align} H_{\text{verallg. Heis}}&=-\sum_{<i,j>}\left( J^x S^x_iS^x_j+J^y S^y_iS^y_j+J^z S^z_iS^z_j \right) \qquad \text{mit } i,j\; \mathrm{n\ddot achste}\text{ Nachbarn} \end{align}$

Ein Spezialfall des verallgemeinerten Heisenberg-Modells ist das XXZ-Modell, welches erzeugt wird durch die Setzung von J = J_x = J_y und J_z = Δ:

$\begin{align} H_{\text{XXZ}}&=-\sum_{<i,j>}\left[ J\left( S^x_iS^x_j+S^y_iS^y_j \right)+\Delta S^z_iS^z_j \right] \qquad \text{mit } i,j\; \mathrm{n\ddot achste}\text{ Nachbarn}\\ &=-\sum_{<i,j>}\left[\frac{J}{2}\left(S^+_iS^-_j+S^-_iS^+_j\right)+\Delta S^z_iS^z_j\right] \end{align}$

Das Heisenberg-Modell und seine Spezialfälle werden oft im Zusammenhang mit einem angelegten Magnetfeld h = g_Jμ_BB₀ in z-Richtung betrachtet. Der Hamiltonian lautet dann:

$\begin{align} H_{\text{verallg. Heis,h}}&=-\sum_{<i,j>}\left( J^xS^x_iS^x_j+J^yS^y_iS^y_j+J^zS^z_iS^z_j\right) - h \sum_i S^z_i \end{align}$

Eine weitere Verallgemeinerung beinhaltet die Einbeziehung von Kopplungen nicht nur zwischen nächsten Nachbarn sowie von Inhomogenitäten, $J\rightarrow J_{ij}$:

$\begin{align} H_{\text{verallg. Heis, inhom.}}&=-\sum_{i,j}\left( J_{ij}^xS^x_iS^x_j+J_{ij}^yS^y_iS^y_j+J_{ij}^zS^z_iS^z_j\right) \quad \text{mit } i,j\;\mathrm{Gitterpl\ddot atze} \end{align}$

Die Übergänge zum XY-Modell und zum Ising-Modell lassen sich am besten im n-Vektor-Modell darstellen.

Modell im k-Raum

Zur Analyse des Modells und zur Betrachtung der Anregungen ist es sinnvoll, das Modell im k-Raum zu betrachten. Die Transformation (diskrete Fouriertransformation) für die Spinoperatoren a = {x,y,z, + , − } lautet:

$S^a(\vec{k})=\sum_i e^{i\vec{k}\cdot \vec{R}_i}S^a_i$

Das verallgemeinerte Heisenbergmodells im Magnetfeld ohne Richtungsabhängigkeit $(J^x_{ij}=J^y_{ij}=J^z_{ij})$ mit J_ij = J_ji und J_ii = 0 läßt sich dann schreiben als:

$\begin{align} H_{\text{heis,k}}&=-\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}J(\vec{k})\left( S^+(\vec{k})S^-(-\vec{k})+S^z(\vec{k})S^z(-\vec{k})\right)-hS^z(0) \end{align}$

wobei auch die Austauschintegrale wellenzahlabhängig sind:

$J(\vec{k})=\frac{1}{N}\sum_{ij} J_{ij} e^{i\vec{k}\cdot (\vec{R}_i-\vec{R}_j)}$

Grundzustand

In diesem Abschnitt wird der Grundzustand des verallgemeinerte Heisenberg-Modells im Magnetfeld ohne Richtungsabhängigkeit betrachtet. Der Grundzustand ist der Eigenzustand des Systems mit geringster Energie. Dieser ist stark abhängig von Vorzeichen der Kopplungskonstante J.

$\begin{align} \text{alle}\qquad J_{ij}>0 & \qquad\text{Ferromagnet}\\ \text{alle}\qquad J_{ij}<0 & \qquad\text{Anti-Ferromagnet/Ferrimagnet} \end{align}$

Unter eine Drehung aller Spinvektoren ändert sich das Heisenberg-Modell nicht, es ist also invariant unter einer Rotation. Für J > 0 ist es für die Spins energetisch günstiger sich in dieselbe Richtung auszurichten und man spricht von einem ferromagnetischer Grundzustand. Aufgrund der Rotationsinvarianz ist keine Richtung ausgezeichnet, daher wird die Ausrichtung in z-Richtung angenommen. Die Richtung im Festkörper wird durch Anisotropien oder durch ein schwaches angelegtes Magnetfeld bestimmt. Im ferromagnetischen Grundzustand $|F\rangle$ sind alle Spins ausgerichtet in eine Richtung. Spezialisiert man noch

J0 =	∑	Jij =	∑	Jij
	i		j

dann kann die Grundzustandsenergie angeben werden als:

$\begin{align} &H |F\rangle=E_0|F\rangle \\ \text{mit} \qquad &E_0=-NJ_0\hbar^2S^2-NhS \end{align}$

Dabei wurde der Eigenwert des $S^z_i$-Operators als $S^z_i|F\rangle=\hbar S|F\rangle$ benutzt. Für das Spin-1/2-Heisenberg-Modell ist S = 1 / 2.

Für J < 0 ist es energetisch günstiger, wenn benachbarte Spins in unterschiedliche Richtungen zeigen. Der Grundzustand ist daher stark vom unterliegenden Kristallgitter abhängig. Dieser kann dann antiferromagnetisch oder ferrimagnetisch sein. Für spezielle Kristallgitter kann es auch zu magnetischer Frustration kommen.

Magnonen und Spinwellen

In diesem Abschnitt werden die Anregungen aus dem ferromagnetischen Grundzustand des verallgemeinerte Heisenberg-Modells im Magnetfeld ohne Richtungsabhängigkeit betrachtet. Die Anregungszustände werden dem Quasiteilchen Magnon zugeordnet. Es handelt sich dabei um kollektive Anregungen des gesamten Kristallgitters und diese werden demnach auch als Spinwellen bezeichnet.

Die Eigenzustände des $S^-(\vec{k})$-Operators sind ebenfalls Eigenzustände des Hamiltonians, da $S^-(\vec{k})$ und H kommutieren:

$[H_{\text{heis,k}},S^-(\vec{k})]=0$

Die einmalige Anwendung des $S^-(\vec{k})$-Operators auf den ferromagnetischen Grundzustand gibt also einen angeregten Eigenzustand des Heisenberg-Modells und wird (normierter) Ein-Magnonenzustand genannt:

$|\vec{k}\rangle=\frac{1}{\hbar\sqrt{2SN}}S^-(\vec{k})|F\rangle$

die zugehörige Energie des Zustands ist gegeben als:

$E(\vec{k})=E_0+\hbar \omega(\vec{k}) \qquad \text{mit} \qquad \hbar \omega(\vec{k})=\hbar h +2S\hbar^2(J_0-J(\vec{k}))$

die Anregungsenergie $\hbar \omega(\vec{k})$ wird dem schon erwähnten Magnon-Quasiteilchen zugeschrieben. Betrachtet man den Erwartungswert des $S^z_i$-Operators auf diesen Zustand so erhält man:

$\langle\vec{k}|S^z_i|\vec{k}\rangle=\hbar\left(S-\frac{1}{N}\right)$

Dabei ist die linke Seite der Gleichung nicht mehr vom Platz i abhängig. Anschaulich bedeutet dies, dass die Anregung aus dem Grundzustand (Ein-Magnonenzustand) nicht durch das einfache Umklappen eines Spins auf einem Gitterplatz erzeugt wird, sondern dass der Ein-Magnonenzustand über das Gitter gleichmäßig verteilt ist. Daher wird der Zustand $|\vec{k}\rangle$ als kollektive Anregung angesehen und als Spinwelle bezeichnet.

1D-Heisenberg-Modell

Im eindimensionalen Heisenberg-Modell sind die Spins aufgereiht auf einer Kette. Bei periodischen Randbedingungen ist die Kette zu einem Ring geschlossen. Die Eigenzustände und Eigenenergien für das eindimensionale Heisenberg-Modell wurden 1931 von Hans Bethe^[4] mit dem Bethe-Ansatz exakt bestimmt.

Eigenvektoren und Eigenzustände

Da der $S_z^\text{tot}$-Operator mit dem Hamiltooperator kommutiert zerfällt der gesamte Hilbertraum in verschiedene Unterräume, die einzeln diagonalisiert werden können.

$[S_z^\text{tot},H]=\sum^N_{i=1}[S^z_i,H]=0$

Die verschieden Unterräume können durch ihre $S_z^\text{tot}=-N \dots N$ Quantenzahlen beschrieben werden. Das heißt, dass die Eigenvektoren Superpositionen aus Basiszuständen mit derselben $S_z^\text{tot}$ Quantenzahl sind. Im Bethe-Ansatz werden diese Zustände mittels der umgeklappten Zustände vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert. Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins (also$S^\text{tot}_z=N-2$) an den Gitterplätzen n₁ und n₂ angegeben als:

$|n_1n_2\rangle = |\uparrow\uparrow\underbrace{\downarrow}_{n_1}\uparrow \dots \uparrow\underbrace{\downarrow}_{n_2} \uparrow \dots \uparrow\rangle$

Die Eigenvektoren in einem Unterraum mit einer S_z Quantenzahl S_z = N − r sind Superpositionen aus allen möglichen Zuständen $|n_1, n_2, \dots, n_{N-r}\rangle$

$|\Psi\rangle = \sum^N_{n1 < n2 < \dots < n_r}a(n_1, n_2, \dots, n_r)|n_1, n_2, \dots, n_r\rangle\,;$

die Koeffizienten sind ebene Wellen und durch den Bethe-Ansatz gegeben.

$a(n_1, \dots, n_r) = \sum_{P\in S_r}\exp\left(i\sum^r_{j=1}k_{P_j}n_j+i\sum_{i<j}\theta_{P_iP_j} \right)$

Die Parameter können über die Gleichungen des Bethe-Ansatzes bestimmt werden

$\begin{alignat} \cdot 2 \cot \frac{\theta_{ij}}{2}&=\cot\frac{k_i}{2}-\cot\frac{k_j}{2} &\qquad \text{mit}\quad& i,j = 1, \dots, r \\ Nk_i&=2\pi\lambda_i+\sum_{j \neq i}\theta_{ij}&&\lambda_i = {1, \dots, N-1} \end{alignat}$

Die Eigenvektoren sind gegeben durch alle Kombinationen der Bethe-Quantenzahlen $(\lambda_1, \dots,\lambda_r)$, die die Gleichungen des Bethe-Ansatzes erfüllen. Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also über die Bethe-Quantenzahlen möglich. Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial. Diezugehörige Energie des Zustands ist gegeben als:

$(E-E_0)=J\sum^r_{j=1}(1-\cos k_j)$

Jordan-Wigner-Transformation

Das 1D-Heisenberg-Modell kann bei periodischen Randbedingungen mittels einer Jordan-Wigner-Transformation auf spinlose Fermionen auf einer Kette mit lediglich nächster Nachbarwechselwirkung abgebildet werden. Der Hamiltonian H_Heis des 1D-Heisenberg Modells kann demnach geschrieben werden als:

$\begin{align} H_{\text{Heis}}&=-J\sum^N_{n=1}\vec{S}_n\cdot \vec{S}_{n+1}=-J\sum^N_{n=1}\left[\frac{1}{2}(S_n^+S^-_{n+1} + S_n^-S^+_{n+1})+S^z_nS^z_{n+1} \right] \\ &= -J\sum^N_{i=1}\left[ \left(c^\dagger_i c_{i+1} +\text{h.c}\right) + \left( c^\dagger_i c_i - \frac{1}{2}\right)\left(c^\dagger_{i+1} c_{i+1} - \frac{1}{2}\right) \right]\\ &= H_0 + H_J \end{align}$

Die $c_i,c^\dagger_i$ sind Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für spinlose Fermionen.

Literatur

• Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik, Band 7 - Vielteilchen-Theorie, Springer Verlag

Quellen

1. ↑ Es gibt auch eine nicht-quantenmechanische („klassische“) Formulierung: siehe Heisenberg-Modell
2. ↑ W. Heisenberg, Z. Phys. 38, 441 (1926) sowie 39, 629 (1928)
3. ↑ P. Dirac, Proc. Roy. Soc. London 112A, 661 (1926)
4. ↑ H. Bethe, Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette. (On the theory of metals. I. Eigenvalues and eigenfunctions of the linear atom chain), Zeitschrift für Physik A, Vol. 71, pp. 205-226 (1931). SpringerLink.