Viskositätszahl

Physikalische Größe
Name	kinematische Viskosität
Größenart	kinematische Viskosität
Formelzeichen der Größe	ν
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI m2·s−1 L2·T −1

Physikalische Größe
Name	dynamische Viskosität
Größenart	dynamische Viskosität
Formelzeichen der Größe	η
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI N·s·m−2 = kg·m−1·s−1 M·L−1·T−1
Anmerkungen
auch in Pa·s bzw. mPa·s angegeben

Die Viskosität ist ein Maß für die Zähflüssigkeit eines Fluids. Der Kehrwert der Viskosität ist die Fluidität, ein Maß für die Fließfähigkeit eines Fluids. Je größer die Viskosität, desto dickflüssiger (weniger fließfähig) ist das Fluid; je niedriger die Viskosität, desto dünnflüssiger (fließfähiger) ist es.

Normalerweise wird mit dem Begriff Viskosität die Viskosität in Scherung verbunden, es ist allerdings auch möglich die Viskosität in Dehnung zu messen, siehe dazu die Seite Dehnviskosität.

Teilchen zäher Flüssigkeiten sind stärker aneinander gebunden und somit unbeweglicher; man spricht daher auch von der inneren Reibung. Sie resultiert nicht nur aus den Anziehungskräften zwischen den Teilchen des Fluids (Kohäsion).

Bei Feststoffen verwendet man stattdessen die Begriffe der Duktilität, Sprödigkeit und Plastizität. Gelegentlich wird Zähigkeit als Synonym für Viskosität verwendet.

Der Begriff Viskosität geht auf den typisch zähflüssigen Saft der Beeren in der Pflanzengattung Misteln (Viscum) zurück. Aus diesen Misteln wurde der Vogelleim gewonnen, „viskos“ bedeutet also grob „zäh wie Vogelleim“.

Fließverhalten von Flüssigkeiten

Den Effekt innerer Reibung kann man sich vereinfacht durch die Bewegung zweier übereinander liegender, verzahnter Molekülschichten vorstellen (siehe Abb. Punkt 1). Beim Fließen gleiten die Moleküle aneinander vorbei, und um die Verzahnung zu überwinden, benötigt man eine gewisse Kraft. Den Zusammenhang zwischen dieser Kraft und den Eigenschaften des vorliegenden Fluids definiert die Viskosität. Erkennbar wird dieser Zusammenhang besonders gut an der homologen Reihe der Alkane (kettenförmige Kohlenwasserstoffe), hier steigt die Viskosität mit der Kettenlänge und damit den zunehmenden intermolekular wirkenden Van-der-Waals-Kräften kontinuierlich an. Bei den mittleren Alkanen (ab Nonan, neun C-Atome) hat sie bereits einen Wert ähnlich dem von Wasser.

Modellvorstellung zur Viskosität, links der Geschwindigkeitsgradient (2) und rechts eine Veranschaulichung für die verzahnten Molekülschichten (1), weitere Erläuterungen siehe Text

Sehr gut veranschaulichen kann man sich die Viskosität auch an folgendem Beispiel: gleitet Wind über das Wasser eines Ozeans, erzeugt dies eine Bewegung der Wasserschicht an der Oberfläche. Je tiefer man nun taucht, desto ruhiger wird das Wasser, bis man einen Punkt erreicht, wo keine Strömung herrscht. Die einzelnen Flüssigkeitsschichten bewegen sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit (Korkenzieherströmung), es entsteht ein Geschwindigkeitsgradient (siehe Abb. Punkt 2):

$\frac{\mathrm dv}{\mathrm dy}$

Weht kein Wind mehr, bricht die Strömung zusammen, das Wasser ruht auch wieder an der Oberfläche. Dass die Flüssigkeit auch in tieferen Schichten trotz Wind an der Oberfläche praktisch ruht, ist Folge der inneren Reibung in der Flüssigkeit.

Die dynamische Viskosität der meisten Flüssigkeiten nimmt mit steigender Temperatur ab und kann oft mit der Arrhenius-Andrade-Beziehung beschrieben werden:

$\eta=\eta_0 e^{\frac{E_A}{R\cdot T}}$

Wobei η₀ eine Materialkonstante und E_A die Aktivierungsenergie (auch Platzwechselenergie), R die allgemeine Gaskonstante und T die absolute Temperatur sind. Bei Flüssigkeiten in der Nähe der Glasübergangstemperatur (bis ca. 100 K darüber) gilt meist die WLF-Beziehung, da das freie Volumen sehr gering ist und damit diese Größe dominiert, die in der Nähe der Glasübergangstemperatur eine sehr viel stärkere Temperaturabhängigkeit hat, als die Kettenbeweglichkeit, die hinter der Arrhenius-Andrade-Beziehung steht.

Definition der Viskosität

Man stelle sich zwei im Abstand x angeordnete Platten der Fläche A vor. Zwischen diesen Platten befindet sich eine Flüssigkeit, die an beiden Platten haftet. In unserer Vorstellung soll der Raum mit der Flüssigkeit in Schichten unterteilt sein. Wird nun Platte 2 mit der Geschwindigkeit v bewegt, so bewegt sich die Schicht in unmittelbarer Nachbarschaft zu Platte 2 auf Grund der Haftung ebenfalls mit der Geschwindigkeit v. Da Platte 1 ruht, ruht auch ihre Nachbarschicht. Die innenliegenden Flüssigkeitsschichten gleiten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aneinander vorbei. Die Geschwindigkeit nimmt von der ruhenden Platte zur bewegten zu. Im einfachsten Fall besteht eine lineare Abhängigkeit (siehe Abbildung). Von der obersten, an der Platte haftenden Schicht geht eine Tangentialkraft auf die darunterliegende Schicht aus. Diese bewegt sich folglich mit der Geschwindigkeit v₁. Diese Schicht wirkt wiederum auf die darunterliegende Schicht und bewegt sie mit der Geschwindigkeit v₂.

Im Experiment lässt sich zeigen, dass die Kraft F, die nötig ist, um Platte 2 zu bewegen, proportional zu ihrer Fläche A, ihrer Geschwindigkeit v und antiproportional zu dem Abstand der Platten x ist:

$F \sim A$ und $F \sim v$ und $F \sim \frac{1}{x}.$

Hieraus ergibt sich

$F\sim\frac{Av}{x}$

und als Gleichung

$F= \eta\frac{Av}{x}.$

Die Proportionalitätskonstante η ist die dynamische Viskosität. Häufig wird sie auch nur als Viskosität bezeichnet. Ein Stoff hat also die Viskosität 1 Ns/m², wenn bei einer Größe der Platten von 1 m² und einem Plattenabstand von 1 m eine Kraft von 1 N benötigt wird, um die Platten mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s gegeneinander zu verschieben.

Für die physikalische Einheit gilt: $1{\rm N}=[\eta] \cdot\left(\frac{{\rm m}^2\,{\rm m}}{{\rm m}\,{\rm s}}\right) \Rightarrow [\eta] = \frac{{\rm N}\,{\rm s}}{{\rm m}^2}.$

Ist η unabhängig von der Geschwindigkeit v, so wird die Flüssigkeit als Newtonsche Flüssigkeit bezeichnet. Für diese Flüssigkeiten stellt sich das in Abbildung 2 gezeigte, lineare Geschwindigkeitsprofil ein. Ist η von v abhängig, so bezeichnet man die Flüssigkeit als nicht-newtonsch.

Newtonsche Flüssigkeiten

Im Folgenden wird der vereinfachte Zusammenhang gemäß dem newtonschen Viskositätsgesetz dargestellt, es wird dabei stets laminare Strömung sowie Temperatur- und Druckunabhängigkeit der Flüssigkeitseigenschaften angenommen. Außerdem unterstellte Newton eine lineare Abhängigkeit des oben erläuterten Geschwindigkeitsgradienten, der auch Schergeschwindigkeit $\dot\gamma$ (manchmal auch mit D oder G bezeichnet) genannt wird:

$\dot\gamma = \frac{\mathrm dv}{\mathrm dy}$

Schubspannungs-Schergeschwindigkeits-Diagramm:
1: dilatantes Fluid
2: Newtonsche Fluid
3: Scherverdünnendes (pseudoplastisches) Fluid
4: Bingham-plastisches Fluid
5: Casson-plastisches Fluid

Verknüpft man dies mit der Schubspannung, erhält man folgenden Zusammenhang für die dynamische Viskosität:

$\tau=\eta \cdot \frac{\mathrm dv}{\mathrm dy} \Rightarrow \eta = \frac{\tau}{\dot\gamma}$

Die Schubspannung τ ergibt sich aus der die Strömung bewirkenden Kraft bezogen auf die betroffene Angriffsfläche, die sich mit maximaler Geschwindigkeit bewegt. η wird bei newtonschen Flüssigkeiten als Konstante angesehen. Darüber hinaus wird das Verhältnis zwischen der dynamischen Viskosität η und der Dichte ρ definiert als kinematische Viskosität:

$\nu = \frac{\eta}{\rho}$

Nicht-Newtonsche Flüssigkeiten

Viele Substanzen folgen diesem Gesetz jedoch nicht, sondern zeigen ein zeit- oder schergeschwindigkeitsabhängiges Verhalten. Dabei unterscheidet man verschiedene Arten der Abweichung:

• Strukturviskosität / Dilatanz, dabei ist die Viskosität η keine Konstante, sondern ändert sich mit dem Schergefälle $\dot\gamma$
• Thixotropie / Rheopexie, hierbei zeigen sich zeitabhängige Strukturveränderungen, so dass je nach Zeitdauer seit der letzten Fließbewegung andere Viskositätswerte zu finden sind
• Fließgrenze, es muss erst eine gewisse Mindestschubspannung vorhanden sein, um ein Fließen zu erreichen (plastisches Fließen). Diese Art Fluid wird auch als Bingham-Fluid bezeichnet.

Derartige Fluide bezeichnet man als nichtnewtonsche Fluide.

Im allgemeinen Fall muss das Schergefälle $\dot\gamma$ aus dem Scherwinkel in der Flüssigkeit berechnet werden und nicht über den Geschwindigkeitsgradienten.

SI-Einheit

Die SI-Einheit der

dynamischen Viskosität: $[\eta] = \frac{\rm kg}{\rm m \cdot s} = {\rm Pa} \cdot {\rm s} = \frac{\rm Ns}{\rm m^2}$

kinematischen Viskosität: $[\nu] = \frac{\rm m^2}{\rm s}$

Im CGS-System wird die dynamische Viskosität in Poise (P) gemessen, wobei 1 Ns/m² = 1 Pa·s = 10 Poise und 1 Centipoise = 1 cP = 10^-3 kg/ms, und die kinematische Viskosität in Stokes (St), 1 St = 10^-4 m²/s.

Typische Viskositätswerte

Viskosität verschiedener Flüssigkeiten in Abhängigkeit von der Temperatur

Viskosität von gelöstem Glycerol in Abhängigkeit vom Massenanteil

Substanz	η in mPa·s 1)
Wasser (5 °C)	1,52
Wasser (20 °C)	1,00
Wasser (25 °C)	0,891
Petroleum	0,65
Pentan (25 °C)	0,224
Diethylether	0,240
Hexan	0,320
Heptan	0,410
Octan	0,538
Nonan	0,711
Chloroform	0,56
Decan	0,920
Ethanol	1,19
Essigsäure (80%-ige bei 25°C)	2,31
Benzol (25 °C)	0,601
Glycerin (rein)	1480
Lack	~ 102
Paraffinöl	102 bis 106
Polymerschmelzen	103 bis 1013 2)
Bitumen	~ 1011
Asphalt	~ 105
Quecksilber	1,55
Glas (Verarbeitungstemperatur)	~ 102 bis 104
Glas (Raumtemperatur)	~ 1018 bis 1020
Blut (37 °C)	4 bis 25
Traubensaft	2 bis 5
Olivenöl	~ 102
Honig	~ 104
Sirup	~ 105
Kaffeesahne	~ 10
Steinsalz	~ 1013 bis 1018

¹⁾ Sofern nicht anders vermerkt, beziehen sich die Werte auf die Viskosität bei 20 °C.
²⁾ Bei Polymeren gibt es einen sehr breiten Bereich an Viskositäten, der im Wesentlichen von der Kettenlänge und deren Verzweigungsstruktur (und natürlich von der Temperatur) abhängt. Hergestellt werden z.B. Siliconöle (PDMS) mit definierten Viskositäten zwischen 0,6 mPa·s bei 25 °C und 1.000.000 mPa·s bei 27 °C. Polymerschmelzen können aber auch noch sehr viel höhere Viskositäten aufweisen. Bei einem UHMW-HDPE (für Hüftgelenksimplantate) wurden Viskositäten jenseits der 10¹³ mPa·s bei 150 °C gemessen.

Man muss aber bedenken, dass bei normalen ungefüllten Polymerschmelzen spätestens ab einer Viskosität von 10.000 mPa·s Strukturviskosität auftritt, deren Intensität (also wie stark die Viskosität bei hoher Scherrate sinkt) sich bei steigender Viskosität erhöht.

Bei der Landhebung, einem Nacheiszeitlichen Effekt der Erdoberfläche, sind es rund 10²¹ Pa·s.

Viskosität von Gasen

Viskosität verschiedener Gase bei Normaldruck

Viskosität von Stickstoff in Abhängigkeit vom Druck für verschiedene Temperaturen

Viskosität von Stickstoff in Abhängigkeit von der Temperatur für verschiedene Drücke

Für Gase lässt sich die Viskosität anhand einer mikroskopischen Betrachtung des Impulsflusses abschätzen:

$\eta = \frac{1}{3}\,n\,m\,v\,\lambda$

mit der freien Weglänge λ für die Gasteilchen, der Masse der Gasteilchen m, der mittleren Teilchengeschwindigkeit v und der Teilchenzahldichte n.

Die Viskosität von Gasen ist bei niedrigen Drücken (ca. 0,1 bis 10 bar) unabhängig vom Druck. Dies gilt solange, wie die freie Weglänge klein gegenüber den Gefäßabmessungen und groß gegenüber den Molekülabmessungen ist. Mit anderen Worten: Für ein sehr dünnes oder ein sehr dichtes Gas wird die Viskosität doch wieder vom Druck beziehungsweise der Dichte des Gases abhängig.

Grundsätzlich abhängig ist die Viskosität aber von der Temperatur. Mit zunehmender Temperatur steigt die Viskosität, da die mittlere Teilchengeschwindigkeit v proportional zu T^0,5 wächst (vgl. Abschnitt „Kinetische Gastheorie“). Dieses Verhalten ist bei den meisten Flüssigkeiten genau entgegengesetzt. Die folgende Tabelle listet zu einigen Gasen die Viskositäten und freien Weglängen auf.

Gas	η (273 K) in µPa·s	λ (1 atm) in nm
Luft	17,1	59,8
Sauerstoff (O2)	19,2	63,3
Kohlendioxid (CO2)	13,8	39,0
Stickstoff (N2)	16,6	58,8
Argon	21,0	62,6
Neon	29,7	124,0
Helium	18,6	174,0
Wasserstoff (H2)	8,4	111,0

Kinetische Gastheorie

Nach Hirschfelder kann die Viskosität reiner Gase mit Hilfe der kinetischen Gastheorie in einem großen Temperaturbereich (etwa von 200 bis 3000 Kelvin) berechnet werden.

$\eta = \frac{5 \sqrt{\pi m k_{B} T}}{16 \pi \sigma^{2} \Omega^{(2,2)^{\star}}}$

Hierbei ist m die Molekülmasse, k_B die Boltzmann-Konstante, T die Temperatur, σ der Lennard-Jones-Stoßdurchmesser und $\Omega^{(2,2)^{\star}}$ das reduzierte Stoßintegral, das von der reduzierten Temperatur $T^{\star} = k_{B} T / \epsilon$ abhängt. ε ist die Energie des Lennard-Jones-Potentials. Werte für die Lennard-Jones-Parameter und das reduzierte Stoßintegral sind in Lienhards Lehrbuch zur Wärmeübertragung in Kapitel 11 aufgeführt. Das reduzierte Stoßintegral $\Omega^{(2,2)^{\star}}$ ist so definiert, dass für ein ideales Gas, bei dem Teilchenwechselwirkungen wie Stöße harter Kugeln betrachtet werden, gilt $\Omega^{(2,2)^{\star}} = 1$.

Fluidität

Der Kehrwert der Viskosität ist die Fluidität η ^{− 1} mit der Einheit $[\eta^{-1}]=\frac{\rm m \cdot s}{\rm kg}$.

Siehe auch

• Gesetz von Stokes
• Navier-Stokes-Gleichungen
• Gesetz von Hagen-Poiseuille
• Engler-Grad
• Visco-Kupplung
• Rheologie
• Vulkameter
• Viskosimeter
• Andrade-Gleichung
• Vogel-Fulcher-Tammann-Gleichung
• Pechtropfenexperiment

Literatur

• Joseph O. Hirschfelder, Charles F. Curtiss, und Robert Byron Bird: Molecular Theory of Gases and Liquids. Wiley, 1964, ISBN 0-471-40065-3
• John H. Lienhard IV und John H. Lienhard V, A Heat Transfer Textbook. Phlogiston Cambridge, 3. Auflage, 2005
• Atkins, Peter W.: Physikalische Chemie / A. Höpfner (Übers.). 3., korr. Aufl. Weinheim, Wiley-VCH, 2002, ISBN 3-527-30236-0
• Dealy JM.: Structure and Rheology of Molten Polymers. München, Hanser Fachbuchverlag, 2006
• Gabriel C.: Einfluss der molekularen Struktur auf das viskoelastische Verhalten von Polyethylenschmelzen. Lehrstuhl für Polymerwerkstoffe, Erlangen, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, 2001
• Piel C, Stadler FJ, Kaschta J, Rulhoff S, Münstedt H, Kaminsky W: Structure-property relationships of linear and long-chain branched metallocene high-density polyethylenes and SEC-MALLS. Macromolecular Chemistry and Physics 207 (1), 26-38, 2006
• Gehm, Lothar: RHEOLOGIE – Praxisorientierte Grundlagen und Glossar. VINCENZ 1998, ISBN 3-87870-449-6
• Schwarzl, FR.: Polymermechanik. Heidelberg, Berlin, New York, Springer, 1993

Weblinks

• Viskosität