Bremsmoment

Physikalische Größe
Name	Drehmoment
Größenart	Moment
Formelzeichen der Größe	M
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI Nm M L2 T −2

Als Drehmoment bezeichnet man jene physikalische Größe, die bei der Beeinflussung der Drehzahl (Zunahme oder Abnahme) eines drehbaren Körpers wirkt.

Das Drehmoment wird in Newtonmeter (Einheitenzeichen: Nm) gemessen und ist das Vektorprodukt von Kraftarm und Kraft.

$\vec M =\vec r \times \vec F$ – Drehmomentvektor

Drehmoment ist Kraftarm mal Kraft.

Das Drehmoment ist ein Spezialfall eines Moments, der für rotierende Körper und Systeme benutzt wird. Es spielt dabei eine vergleichbare Rolle wie die Kraft bei der geradlinigen Schiebebewegung (Translationsbewegung). Siehe hierzu auch die Tabelle in Rotation (Physik). Ein Antriebsmoment kann einen Drehkörper (z. B. ein Rad) um seine Drehachse rotatorisch beschleunigen, sodass die Drehzahl des Rades steigt. Ein in die andere Richtung gerichtetes Bremsmoment kann die Drehzahl des Rades reduzieren. Sind Antriebs- und Bremsmoment gleich groß (Momentengleichgewicht), dann ändert der Drehkörper seine Drehzahl nicht.

Die physikalische Dimension des Drehmomentes ist damit das Produkt aus Kraft und Weg. Im SI-System hat es die (abgeleitete) Maßeinheit Newton-Meter, $1\, \mathrm{Nm=1\,kg\,m^2/s^2}$.

Grundlagen

Beziehung zwischen Kraft $\vec F$, Drehmoment $\vec \tau$, Impuls $\vec p$, Drehimpuls $\vec L$ und Kraft- bzw. Hebelarm $\vec r$

Wirkt auf den Schwerpunkt eines frei beweglichen starren Körpers eine Kraft, so wird der Körper beschleunigt, das heißt, seine Geschwindigkeit verändert sich. Er führt eine geradlinige Translationsbewegung (Verschiebung) aus. Wird der Körper jedoch an einem Punkt festgehalten, so ist keine Translation mehr möglich, und die Bewegungsmöglichkeit des Körpers reduziert sich auf Rotationsbewegungen (Drehungen) um diesen Punkt. Die Größe, die diese Drehbewegung beeinflusst, d. h. die Änderung der Rotationsgeschwindigkeit verursacht, heißt Drehmoment.

Eine einzelne Kraft $\vec F_1$ kann keine reine Drehbewegung verursachen. Eine Veränderung der Drehbewegung ohne Änderung der Translationsbewegung ist erst möglich, wenn ein Kräftepaar angreift. Die zweite Kraft wird beispielsweise durch die drehbare Befestigung des Körpers aufgebracht. Ist die zweite Kraft entgegengesetzt gleich der ersten Kraft, $\vec F_2 = -\vec F_1$, so ist die resultierende Kraft auf den Körper null, und die Translationsbewegung ändert sich nicht. Trotzdem bewirkt dieses Kräftepaar ein Drehmoment auf den Körper und dadurch eine Veränderung der Drehbewegung. Dabei ist neben der Größe der beiden Kräfte $\vec F_1$ und $\vec F_2$ auch der Abstand der beiden Punkte, an denen die Kräfte angreifen, von Bedeutung. Der Abstand $\vec r$ ist ein Vektor, der vom Angriffspunkt der Kraft $\vec F_2$ zum Angriffspunkt von $\vec F_1$ zeigt. Zum Drehmoment trägt nur die Komponente $\ r'$ von $\vec r$ bei, die senkrecht auf der Richtung der Kraft $\vec F_1$ (oder $\vec F_2$) steht. $\ r'$ ist der Abstand, in dem die beiden Kräfte wirken.

• Der Betrag des Drehmomentes ist dann das Produkt von $|\vec F_1|$ mit r'

Rechte-Hand-Regel

• Die Richtung des Drehmomentes ist senkrecht zur durch die Kraft $\vec F_1$ und den Abstandsvektor $\vec r$ aufgespannten Ebene gelegen, in derjenigen Richtung, in die der Daumen zeigt, wenn man mit den gekrümmten Fingern der rechten Hand in Richtung der durch das Drehmoment hervorgerufenen Drehbewegung zeigt. Diese „Rechte-Hand-Regel“ ist eine (willkürliche) Festlegung, die durchgängig bei allen Berechnungen der technischen Mechanik verwendet wird.

Dieser Zusammenhang zwischen den auf den Körper wirkenden Kräften, dem Abstandsvektor der beiden Angriffspunkte und dem Drehmoment (in Betrag und Richtung) wird in kompakter Form durch das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ausgedrückt. In dieser Darstellung erhält man für das Drehmoment $\vec M$ die Definition:

$\vec M =\vec r\times\vec F_1$.

Hauptartikel: D'Alembertsches Prinzip

Wirkt auf einen Körper eine, von null verschiedene, resultierende Kraft, z. B., weil nur eine einzige Kraft $\vec F_1$ von außen einwirkt, so wird der Körper nach dem 2. Newtonschen Gesetz beschleunigt. Nach dem d'Alembertschen Prinzip wird dies im beschleunigten Bezugssystem so beschrieben, dass eine Trägheitskraft (Scheinkraft) $\vec F_t = -m\vec a$ berücksichtigt wird. Wenn die Wirklinie der Kraft $\vec F_1$ nicht durch den Schwerpunkt geht, dann bilden $\vec F_1$ und $\vec F_t$ ein Kräftepaar, das ein Drehmoment erzeugt (obwohl im beschleunigten Bezugssystem die Summe aller Kräfte einschließlich der Trägheitskraft null ergibt!).

Die Beschreibung des gleichen Vorgangs im ruhenden System (Inertialsystem) kommt ohne Trägheitskräfte aus. Hier bewirkt $\vec F_1$ sowohl eine Beschleunigung als auch ein Drehmoment $\vec M =\vec r\times\vec F_1$ und damit eine Winkelbeschleunigung (Beispiel: Anschneiden eines Balles durch seitliches Treten etc.).

Messung des Drehmoments

Drehmomentmesseinrichtungen

• Drehmomentmesswelle
• Pendelmaschine
• Pronyscher Zaum
• Wasserwirbelbremse

Unterschiedliches Auftreten des Drehmomentes

In der Technik ist es gebräuchlich, dem Drehmoment unterschiedliche Bezeichnungen zu geben, je nachdem in welchem Zusammenhang sie wirken:

Man unterscheidet je nach der Richtung, in der Leistung fließt, zweierlei Drehmomente:

1. Antriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine etwas antreibt und Leistung abgibt.
2. Abtriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine angetrieben wird und Leistung aufnimmt.

• Antriebsmoment eines Motors (für Verbrennungsmotor siehe Link unten)
• Abtriebsmoment eines Generators, eines Kompressors oder einer Pumpe
• Antriebsmoment und Abtriebsmoment eines Getriebes
• Anfahrmoment einer Gasturbine
• Anzugsmoment einer Schraube
• Drehmoment in der Propellerwelle eines Schiffes oder eines Motorflugzeugs.

Beispiel: Elektromotor

Drehmomentkennlinie eines Standard-E-Motors

Der Asynchronmotor in der Ausführung als Kurzschlussläufer ist der am häufigsten verwendete Elektromotor. Das Bild zeigt das erzeugte Drehmoment in Abhängigkeit von der Drehzahl. Der normale Betriebsbereich ist rechts von den Kipppunkten K1 oder K2 auf der steil abfallenden Kurve. Der Bereich links von den Kipppunkten ist der Anlaufbereich, der immer möglichst schnell durchfahren werden muss. Im Anlaufbereich hat der E-Motor ein schlechten Wirkungsgrad und kann ohne Schutzmaßnahmen durchbrennen.

Beispiel: Drehmoment eines Verbrennungsmotors

Der bei Automobilen verwendete Begriff maximales Drehmoment eines Verbrennungsmotors bei einer bestimmten Drehzahl bezeichnet das maximale vom Motor an der Kurbelwelle abgegebene Drehmoment. Das an der Kurbelwelle bei Volllast (Vollgas) abgegebene Drehmoment ist nicht über den gesamten Drehzahlbereich des Motors konstant, sondern hat in einem bestimmten Bereich des nutzbaren Drehzahlbereiches ein Maximum.

Das Drehmoment M für Viertaktmotoren berechnet sich aus:

$M = \frac {V_h p_e}{2 \cdot 2 \pi}$

Hierbei ist V_h das Hubvolumen und p_e der effektive Mitteldruck, der Faktor 2π im Nenner stammt aus der Formel für die Arbeit eines Drehmoments, die entlang des Umfanges 2π verrichtet wird. Der Wert 2π wird bei Viertaktmotoren mit 2 multipliziert, da Viertaktmotoren nur bei jeder zweiten Umdrehung Arbeit verrichten. Für Zweitaktmotoren gilt entsprechend:

$M = \frac {V_h p_e}{2 \pi}$

Rechenbeispiel für das Drehmoment eines Serienfahrzeuges mit 2000 cm³ (=0,002 m³) Hubvolumen, dessen Viertaktmotor bei einer Drehzahl von 2000 ¹/_min einen Mitteldruck von 22 Bar (=2.200.000 Pa; 1 Pa = 1 N/m²) erreicht, in SI-Einheiten gerechnet:

$M = \frac{0{,}002 m^{3\!\!\!/} \cdot 2.200.000 \frac{N}{m\!\!\!/^{2\!\!\!/}} }{4 \pi} = 350\,\mathrm{ Nm}$

Beispiel: Zusammenhang von Drehmoment und Leistung

Die Leistung bei einer Drehbewegung ergibt sich zu

$P = M \cdot \omega$

Die Winkelgeschwindigkeit ω erhält man aus der Drehzahl n gemäß $\omega = 2 \pi \ n$. Damit ergibt sich für die Leistung

$P = M \cdot 2 \pi \ n$

und für eine drehzahlabhängige Leistung

$P(n) = M(n) \cdot 2 \pi \ n$

M(n) ist die für die untersuchte Maschine typische drehzahlabhängige Drehmomentkenngröße, die durch Messung erhalten wird.

Ein Verbrennungsmotor, der bei 2000 Umdrehungen pro Minute ein Drehmoment von 350 Nm abgibt, gibt somit bei dieser Drehzahl auch eine Leistung von

$P = 350\ \mathrm{Nm} \cdot 2\pi\ \frac{2000}{60\ \mathrm{s}} \approx 73{,}3\cdot 10^3\ \frac{ \mathrm{Nm}}{\mathrm{s}} \approx 73\ \mathrm{kW}$ ab.

Beispiel: Drehmoment eines Hydraulikmotors

Für die Leistung P gilt:

$P = M \cdot \omega$

Damit ergibt sich für das Drehmoment

$M = \frac{P}{\omega} = \frac{P}{2\pi\, \frac{1}{T}}$

mit der Periodendauer T, welche einer Umdrehung des Motors entspricht.

Die hydraulische Leistung P errechnet sich aus Druck p₁ und p₂ am Motoreingang bzw. Ausgang und q des geschluckten Ölvolumens pro Umdrehung (Periode T)

$P = (p_1 - p_2)\cdot\frac{q}{T}$

Die Formel der hydraulischen Leistung eingesetzt in obige Formel ergibt das Drehmoment

$M = \frac{(p_1 - p_2)\cdot \frac{q}{T}}{2 \pi\ \frac{1}{T}} = \frac{(p_1 - p_2)\cdot q}{2 \pi}$

Siehe auch

• Moment
• Biegemoment
• Drehimpuls
• Trägheitsmoment
• Drehmomentschlüssel
• Hebelgesetz
• Schubladeneffekt

Weblinks

• Drehmoment am einarmigen Hebel - Am Beispiel eines Schraubenschlüssels
• Entwicklung und Zukunft der Drehmomentmesstechnik
• Einheitenumrechnung - Drehmoment