Dodecaedron simum

Abgeschrägtes Dodekaeder

Das abgeschrägte Dodekaeder (auch Dodecaedron simum genannt) ist ein Polyeder, das zu den Archimedischen Körpern zählt. Es setzt sich aus 92 Flächen, nämlich 12 regelmäßigen Fünfecken und 80 gleichseitigen Dreiecken, zusammen und hat 60 Ecken sowie 150 Kanten. Dabei bilden jeweils vier Dreiecke und ein Fünfeck eine Raumecke.

Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche abgeschrägte Dodekaeder.

Spiegelvariante 1

Spiegelvariante 2

Konstruktion

Wie der Name schon andeutet, entsteht dieses Polyeder durch fortwährendes Abschrägen eines Dodekaeders, sodass am Ende zwölf (kleinere) regelmäßige Fünfecke übrigbleiben, die koinzident mit den ursprünglichen Begrenzungsflächen des Dodekaeders sind.

Formeln

Ausschnitt einer Raumecke des abgeschrägten Dodekaeders.

Nachfolgend bezeichne der Term t den Kosinus des kleineren Zentriwinkels ζ im Sehnenfünfeck (weiße Linien in der Grafik rechts) mit den Seitenlängen a und d = a·φ (d. i. die Diagonale im Pentagon; φ ist die Goldene Zahl). Dann ist t die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung

$t^3+t^2-\tfrac{\phi}{8} = 0$

Mit $p = -\tfrac{1}{9}$  und  $q = \tfrac{1}{27}-\tfrac{\phi^2}{16}$  folgt somit nach den Cardanischen Formeln:

$t = cos(\zeta) = - \tfrac{1}{3} + \sqrt[3]{-q + \sqrt{q^2+p^3}} + \sqrt[3]{-q - \sqrt{q^2+p^3}}$

Größen eines abgeschrägten Dodekaeders mit Kantenlänge a
Oberflächeninhalt	$O \, = \, a^2 \left(20\sqrt{3}+ 3\sqrt{25+ 10\sqrt{5}} \right)$
Volumen	$V \, = \frac{a^3}{6 \sqrt{1-2t}} \left(3 \sqrt{10(9t-2+(4t-1)\sqrt{5})} + 20 \sqrt{2+2t} \right)$
Umkugelradius	$R \, = \, \frac{a}{2} \sqrt{\frac{2-2t}{1-2t}}$
Kantenkugelradius	$r \, = \, \frac{a}{2\sqrt{1- 2t}}$
Flächen-Flächen-Winkel ≈ 164,18° (Trigon–Trigon)	$\cos \, \alpha_1 = -\frac{1}{3}\left(1+4t\right)$
Flächen-Flächen-Winkel ≈ 152,93° (Pentagon–Trigon)	$\cos \, \alpha_2 = \frac{1}{\sqrt{15}}\left((1-2t)\sqrt{5+2\sqrt{5}} - 2\sqrt{(1+t)(5t+(2t-1)\sqrt{5}}\right)$
Flächen-Kanten-Winkel ≈ 143,35° (Pentagon–Trigon)	$\cos \, \beta = \frac{-4t}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$
Kanten-Kanten-Winkel ≈ 118,14° (Trigon–Trigon)	$\cos \, \gamma = -t$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Snub Dodecahedron auf MathWorld (engl.)

Platonische Körper

Tetraeder | Würfel | Oktaeder | Dodekaeder | Ikosaeder

 

Archimedische Körper

Tetraederstumpf · Kuboktaeder · Hexaederstumpf · Oktaederstumpf · Rhombenkuboktaeder · Großes Rhombenkuboktaeder · Dodekaederstumpf · Ikosaederstumpf · Ikosidodekaeder · Abgeschrägtes Hexaeder · Rhombenikosidodekaeder · Großes Rhombenikosidodekaeder · Abgeschrägtes Dodekaeder 

 

Catalanische Körper

Rhombendodekaeder · Triakistetraeder · Triakisoktaeder · Tetrakishexaeder · Deltoidalikositetraeder · Pentagonikositetraeder · Rhombentriakontaeder · Hexakisoktaeder · Triakisikosaeder · Pentakisdodekaeder · Deltoidalhexakontaeder · Pentagonhexakontaeder · Disdyakistriakontaeder