Konstruktive Interferenz

Interferenz zweier Kreiswellen:
Wellenlänge von oben nach unten zunehmend, Abstand der Zentren zunehmend nach rechts. In den dunklen Bereichen (um die Interferenzminima) liegt destruktive und in den hellen (Maxima) konstruktive Interferenz vor.

Interferenz zweier Sinus-Wellen:
Es ist der Fall vollständig konstruktiver und vollständig destruktiver Interferenz bei Schwingungen gleicher Wellenlänge gezeigt. Das dritte Beispiel verdeutlicht das Entstehen einer Schwebung.

Interferenz beschreibt die Überlagerung von zwei oder mehr Wellen nach dem Superpositionsprinzip (d. h. durch Addition der Amplituden, nicht der Intensitäten). Sie tritt bei allen Arten von Wellen auf, also Schall, Licht, Materiewellen, usw.

Interferenz im Alltag

Löschen sich die Wellen dabei gegenseitig aus, so spricht man von destruktiver Interferenz. Verstärken sich die Amplituden, so spricht man von konstruktiver Interferenz. Dieses ist am Beispiel gleichfrequenter, sinusförmiger Wellen in derselben Schwingungsebene mit gleicher, bzw. um 180° verschobener Phase in der Abbildung rechts dargestellt. Das Muster aus Stellen konstruktiver und destruktiver Interferenz wird als Interferenzmuster bezeichnet. Je nach experimentellem Aufbau tritt ein charakteristisches Interferenzmaximum, Interferenzminimum oder beides auf. Ein bekanntes Beispiel ist etwa das Streifenmuster hinter einer Doppelspalt-Anordnung. Das Auftreten von Interferenz im physikalischen Experiment gilt als Nachweis für die Wellennatur der untersuchten Strahlung. So kann man etwa in einem Doppelspaltversuch auch dann ein Interferenzmuster beobachten, wenn man das Licht (Photonen) durch Elektronen ersetzt. Hier spricht man dann von Materiewellen.

Das Wort „Interferenz“ ist ebenso wie das englische interference vom altfranzösischen s'entreferir ‚sich gegenseitig schlagen‘ abgeleitet^[1]. Dieses altfranzösische Wort wiederum ist aus der lateinischen Vorsilbe inter (zwischen) und dem Verb ferire ‚schlagen‘ zusammengesetzt.

Auf Interferenz beruhende physikalische Effekte

Schwebung und Stehwelle

Überlagert man zwei Wellen mit ungleichen, aber nahe beieinander liegenden Frequenzen f₁ und f₂, so ergibt sich durch die Schwebung ein Muster, wie es in der ersten Abbildung rechts (unterer Graph) gezeigt ist. Es bildet sich eine schnelle Oszillation aus (Frequenz f_schnell = (f₁ + f₂)/2), die mit einer langsamen Frequenz amplitudenmoduliert ist (Frequenz f_Schwebung = (f₁ - f₂)/2).

Zum Stimmen von Musikinstrumenten kann man die entsprechende Einstellung solange verändern, bis man zusammen mit einem Referenzton (z. B. aus einer Stimmgabel) keine Schwebung mehr wahrnimmt. Die Vermessung von Schwebungssignalen kann auch zur Messung von ansonsten (für das Messgerät) zu hohen Frequenzen genutzt werden. Dazu ist allerdings eine Signalquelle notwendig, die Signale mit sehr stabiler und präziser Frequenz liefert.

Die Interferenz zweier Wellen gleicher Wellenlänge, aber mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung führt zu einer stehenden Welle, auch Stehwelle genannt.

Kohärenz

Das Wellenfeld, das aus der Interferenz zweier (oder mehrerer) Wellen entsteht, kann nur dann zeitlich stabil sein, wenn diese Wellen untereinander eine (zeitlich) feste Phasenbeziehung aufweisen.

• Bei sehr hohen Frequenzen wie Licht ist immer erforderlich, dass die Wellen aus der gleichen Quelle stammen. Ursache ist, dass nicht ein phasenstabiler Oszillator allein das Wellenfeld erzeugt, sondern außerordentlich viele, voneinander unabhängige atomare Oszillatoren. Die Synchronisation dieser vielen „Wellenerzeuger“ gelingt nicht einmal bei zwei unabhängigen, aber sorgfältig aufgebauten Lasern zufriedenstellend.
• Das Wellenfeld, das aus der Interferenz zweier (oder mehrerer) Wellen entsteht, ist - bei tiefen Frequenzen wie Rundfunkwellen - meist zeitlich ausreichend stabil, sogar wenn die einzelnen Wellen aus unterschiedlichen Oszillatoren stammen. Insbesondere Quarzoszillatoren erlauben mit geringem Aufwand, auch über einen längeren Zeitraum eine (zeitlich) feste Phasenbeziehung herzustellen (geringes Phasenrauschen). Bei Atomuhren gelingt das sogar über Zeiträume von Jahren.

Man spricht dann von kohärenten Wellen. Sind die Wellen nicht monochromatisch, bestehen also aus einer ganzen Reihe von Frequenzanteilen, so definiert man eine Kohärenzzeit, die beschreibt, wie die Wellen maximal gegeneinander verschoben sein dürfen, um noch ein stabiles Interferenzbild zu erzeugen. Diese Kohärenzzeit (oder die daraus abgeleitete Kohärenzlänge) ist ein wichtiges Maß für physikalische Lichtquellen.

Doppelspaltversuch

Ein bekanntes Experiment, das die Wirkung der Interferenz verdeutlicht, ist der Doppelspaltversuch (Thomas Young, 1802). Dabei wird in einen Elektronen- oder Lichtstrahl eine Blende aus zwei schmalen (Größenordnung einer Wellenlänge) Spalten aufgestellt. Dahinter befindet sich ein Detektor bzw. ein Schirm, auf dem die Elektronen oder Photonen nachgewiesen werden. Ist nur ein Spalt offen, bildet sich das typische Beugungsmuster eines Einfachspaltes. Gibt man beide Spalte frei, so entstehen nicht nur zwei Lichtstreifen, sondern mehrere. Die Streifenabstände verhalten sich umgekehrt proportional zum Abstand der Spalte. Interferenz und Beugung führen dazu, dass sich die Wellen des Lichts wie oben beschrieben überlagern und somit eine Anordnung von hellen und dunklen Streifen bilden. Auf das Doppelspaltexperiment wird weiter unten nochmals im Abschnitt über Interferenz in der Quantenmechanik eingegangen.

Interferometer

In der Messtechnik werden Interferometer eingesetzt. Diese nutzen Interferenzerscheinungen zur Messung von Längen oder Phasenverschiebungen mit sehr hoher Auflösung. Dazu wird ein (Licht-)Strahl in zwei kohärente Teile aufgespaltet, die später wieder überlagert werden. Die beiden Strahlen legen dabei unterschiedliche Strecken s₁ und s₂ zurück. Unterscheiden diese sich um ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge, so erhält man am Ausgang des Interferometers konstruktive Interferenz. Unterscheiden sie sich um eine halbe Wellenlänge (Phasenverschiebung von 180°), so erhält man destruktive Interferenz. Stellt man nun das Interferometer zunächst auf konstruktive Interferenz ein und führt dann eine zusätzliche Phasenverschiebung Δφ in einem der beiden Arme ein, so kann man diese über die Intensität am Ausgang des Interferometers bestimmen.

Es gibt verschiedene Umsetzungen dieses Prinzipes: Mach-Zehnder-Interferometer, Michelson-Interferometer, Sagnac-Interferometer, Fabry-Pérot-Interferometer usw.

Beugung und Auflösungsvermögen optischer Geräte

Beugungsmuster an einem Einzelspalt

Bei der Beugung von Wellen an einem Spalt trifft eine Wellenfront auf einen Spalt. Nach dem Huygensschen Prinzip gehen nun von allen Punkten entlang dem Spalt neue Kugelwellen aus, die dahinter interferieren. Dadurch bildet sich das typische Beugungsmuster eines Einfachspaltes (siehe Abbildung rechts). Dabei ist das Beugungsmuster umso schmaler, je breiter der Spalt und je kleiner die Wellenlänge ist.

Jedes optische Gerät beinhaltet eine Eintrittsöffnung (z. B. Öffnung bzw. erste Linse eines Objektives oder Hauptspiegel eines Teleskopes). Diese kann als Spalt modelliert werden und ihr Beugungsbild begrenzt die Auflösung des Gerätes. Diese Begrenzung beruht darauf, dass jedes optische Gerät in irgendeiner Weise ein Bild dieses Eintrittsspaltes erzeugt, das durch die Breite des Beugungsmusters gegeben ist.

Interferenzfarben

Schemazeichnung zur Entstehung von Interferenzfarben; siehe Text.

Interferenzfarben im Gefieder der Purpurkehlnymphe

An dünnen Schichten optisch transparenter Materialien reflektiertes, weißes Licht erscheint häufig farbig. Diese Interferenzfarben entstehen durch Überlagerung der Strahlen, die an der Oberfläche der Schicht und an der unteren Grenzfläche reflektiert werden.

Im Bild rechts ist das Prinzip an dünnen Schichten dargestellt. Strahl 2 wird an der Oberfläche zurückgeworfen, Strahl 1 erst nach Passieren der blau dargestellten dünnen Schicht. Er legt einen um die Strecke Δ = X0Y längeren Weg zurück. Ist Δ ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge λ, d. h.

Δ = (2n + 1) · λ/2 für n = 0, 1, 2, ...

löschen sich die Strahlen 1 und 2 aus. Es gelten genau die Gesetzmäßigkeiten wie für Interferenz am Doppelspalt, nur gerade anders herum, da bei der Reflexion von Strahl 1 am allgemein optisch dichteren Medium eine Phasenverschiebung einer halben Wellenlänge im reflektierten Strahl auftritt. Strahl 2 wird an der unteren Grenzfläche am optisch dünneren Medium reflektiert, so dass hier kein Phasensprung auftritt. Im Bildbeispiel ist es blaues Licht, das destruktiv interferiert. Das Licht anderer Wellenlängen bleibt erhalten. Strahlt man weißes Licht ein, wird es ohne Blau-Anteil reflektiert. Man sieht gelbes Licht, die Komplementärfarbe zu Blau.

Ein bekanntes Beispiel für das Auftreten von Interferenzfarben an zwei eng benachbarten Oberflächen sind die newtonschen Ringe.

Eine verwandter Effekt sind Farben, die durch Reflexion von weißem Licht an fein strukturierten Oberflächen entstehen. Die Interferenzfarben entstehen hier aus der Abhängigkeit der Beugung von der Wellenlänge des Lichtes. Die Farben vieler Schmetterlinge und die einiger besonders prächtig schillernder Vögel beruhen auf diesem Effekt.

Weißlichtinterferenz

Die Überlagerung kontinuierlich variierender Wellenlänge und Amplitude (Spektrum) erzeugt ein Interferenzmuster nur innerhalb der Kohärenzlänge. In der Weißlichtinterferometrie wird dieses Verhalten ausgenutzt um eine eindeutige Längenmessung zu erhalten. Ein weiteres Anwendungsbeispiel findet sich in der Optische Kohärenztomografie, die dadurch dreidimensionale Strukturen erfassen kann.

Laser-Speckle

Speckle-Muster eines Lasers auf einer diffusen Oberfläche

Laser sind Lichtquellen mit sehr hoher Kohärenz (großer Kohärenzlänge, typischerweise einige Meter, bis zu wenigen hundert Metern). Dieses führt dazu, dass Laserlicht auch nach der Reflexion an diffusen Oberflächen noch interferenzfähig ist. Dieses erklärt das stabile Punktemuster, das man bei der Reflexion eines Laserstrahles z. B. an einem Blatt Papier beobachtet. Die Voraussetzung für das Auftreten von Speckle-Mustern ist, dass die Oberfläche Rauheiten in der Größenordnung der Wellenlänge des Laser-Lichts aufweist (bei sichtbarem Licht: einige 100 nm).

Antischall

In der Akustik wird Interferenz zur Reduktion von störenden Geräuschen ausgenutzt, siehe Antischall. Dieses Prinzip kommt z. B. in Kopfhörern für Flugzeugpiloten zum Einsatz, um den Maschinenlärm lokal zu dämpfen^[2].

Mathematische Darstellung

Eine Welle wird üblicherweise durch eine Funktion von Ort x und Zeit t geschrieben $f(\mathbf{x}, t)$. Dieses bringt zum Ausdruck, dass sich eine Welle sowohl im Raum, als auch in der Zeit ausbreitet. Überlagern sich nun mehrere Wellen $f_i(\mathbf{x}, t)$ an einem Ort $\mathbf{x_0}$, so lässt sich das Wellenfeld dort als Superposition (Summe) der einzelnen Wellen darstellen:

$f_\mathrm{gesamt}(\mathbf{x_0},t)=\sum\limits_{i}f_i(\mathbf{x_0}, t) \,$

Interferenz zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude aber unterschiedlicher Phase

Die Überlagerung zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude lässt sich anhand der trigonometrischen Additionstheoreme berechnen. Werden die beiden Wellen f₁(t) und f₂(t) mit der gemeinsamen Frequenz ω, der Amplitude a und den Phasen $\varphi_1$ und $\varphi_2$ durch

$f_1(t) = a \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_1)$ und $f_2(t) = a \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_2) \,$

beschrieben, so ergibt sich für die resultierende Überlagerung der Wellen

$f_1(t) + f_2(t) = a \left( \sin(\omega t + \varphi_1) + \sin(\omega t + \varphi_2) \right) = 2a \cos\left(\frac{\varphi_1 - \varphi_2}{2}\right) \sin\left(\omega t + \frac{\varphi_1 + \varphi_2}{2}\right), \,$

d. h. es entsteht eine Welle derselben Frequenz, deren Amplitude von der Differenz der Phasen der beiden ursprünglichen Wellen abhängt und deren Phase das Mittel der Phasen der ursprünglichen Wellen ist. Für gleiche Phasen der Wellen ($\varphi_1 = \varphi_2$) wird der Cosinus Eins. Es ergibt sich eine Amplitude von 2a, d. h. die Amplitude verdoppelt sich gegenüber den Ausgangsamplituden, was konstruktiver Interferenz entspricht. Für eine Phasendifferenz von 180°,($\varphi_1 = \varphi_2 + \pi$) wird der Cosinus Null, d. h. die resultierende Welle verschwindet. Dieses entspricht destruktiver Interferenz.

Interferenz zweier Wellen gleicher Frequenz aber unterschiedlicher Amplitude und Phase

Für gleiche Frequenz der Wellen, aber unterschiedliche Amplituden und Phasen lässt sich die resultierende Welle mittels Zeigerarithmetik berechnen. Die beiden Wellen g₁(t) und g₂(t) besitzen die gemeinsame Frequenz ω, die Amplituden a₁ und a₂ und die Phasen $\varphi_1$ und $\varphi_2$

$g_1(t) = a_1 \cdot \sin(\omega t + \varphi_1)$ und $g_2(t) = a_2 \cdot \sin(\omega t + \varphi_2) \,$

Die resultierende Überlagerung der Wellen hat die Form

$g_1(t) + g_2(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi) \,$

mit der Amplitude

$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2) } \,$

und der Phase $\varphi$

$\tan \varphi = \frac{a_1 \sin(\varphi_1) + a_2 \sin(\varphi_2)}{a_1 \cos(\varphi_1) + a_2 \cos(\varphi_2)} \,$.

Überlagerung von Kreiswellen

Simulierte Amplitudenverteilung zweier Wellenerreger.

Nahe eines Maximums

Nahe eines Minimums

Die Abbildung links zeigt die Interferenz von zwei kreisförmigen Wellengruppen gleicher Wellenlänge und Amplitude. Die Kreuze markieren die Lage der Quellen, die Kreise die Maxima der jeweiligen Teilwelle. An weißen Stellen tritt konstruktive Interferenz, in positiver Richtung, an schwarzen konstruktive Interferenz, in negativer Richtung, auf. An den grauen Stellen herrscht destruktive Interferenz. Es ist zu erkennen, dass die Minima auf einer Hyperbel-Schar liegen, deren Brennpunkte identisch den Quellorten der Wellen sind. Man spricht deshalb bei zwei Punktquellen von einer hyperbolischen Interferenz. Die Hyperbel ist dabei die Kurve aller Punkte, die zu den zwei Quellorten die Laufzeitdifferenz t = λ/2 haben. Der Scheitelpunktabstand 2a entspricht der Laufzeitdifferenz 2a = (T₁ − T₂)v, wenn T₁ und T₂ den Zeitbezug der beiden speisenden Zeitfunktionen darstellen und v die mediale Ausbreitungsgeschwindigkeit darstellt.

Interferenz in der Quantenmechanik

Anschauliche Erklärung

Interferenzmuster von Elektronen nach Beugung am Doppelspalt

In der Quantenmechanik spielen Interferenzphänomene eine entscheidende Rolle. Teilchen (und allgemeiner beliebige Zustände eines Systems) werden durch Wellenfunktionen beschrieben. Diese sind die Lösungen der Schrödingergleichung, welche eine Form ähnlich einer Wellengleichung annehmen kann. Damit können sich Teilchen, also Materie, in der Quantenmechanik wie Wellen verhalten und auch interferieren (siehe auch Welle-Teilchen-Dualismus, Materiewellen). Ein bekanntes Beispiel ist etwa die Interferenz von Elektronen in einem Doppelspaltexperiment^[3] (siehe auch die Bilder rechts) oder die Interferenz zweier Bose-Einstein-Kondensate.

Der Arbeitsgruppe von Anton Zeilinger ist es gelungen, ein Interferenzmuster von Fullerenen (ballförmige Moleküle aus 60 Kohlenstoff-Atomen) zu beobachten. Dieses sind die schwersten Teilchen, für die je eine Interferenzerscheinung beobachtet werden konnte^[4].

Bemerkenswert an dieser Form von Interferenz ist allerdings, dass die Messung, welchen Weg ein Quantenobjekt gewählt hat („Welcher-Weg“-Information), dazu führt, dass auch nur noch dieser „benutzt“ wird – also keine Interferenz auftritt. In einer Doppelspaltanordnung hängt das Interferenzmuster also davon ab, ob man herausfinden kann, welchen Weg (durch Spalt 1 oder Spalt 2) das Quantenobjekt nahm. Dies gilt auch, wenn der Weg des Quantenobjekts nicht schon beim Passieren der Spalte sondern erst später festgestellt wird (verzögerter Messprozess). Nur wenn eine Gewinnung der „Welcher-Weg“-Information nie erfolgte oder sie durch einen Quantenradierer wieder getilgt wurde, ergibt sich hinter dem Doppelspalt ein Interferenzbild.^[5]

Mathematische Fassung

In der Bra-Ket-Notation lässt sich ein beliebiger quantenmechanischer Zustand in einer orthonormierten Basis $\{|i\rangle\}$ ($\langle i|j\rangle=\delta_{ij}$) darstellen. Dabei sind die $c_i,b_i\in\mathbb{C}$ komplexe Koeffizienten:

$|\psi\rangle=\sum\limits_ic_i\cdot|i\rangle,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\phi\rangle=\sum\limits_ib_i\cdot|i\rangle$

Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein System im Zustand $|\psi\rangle$ im Zustand $|\phi\rangle$ gemessen wird lautet dann:

$\mathcal{P}(\psi\rightarrow\phi)=|\langle\psi|\phi\rangle|^2=\left|\sum\limits_{i}c_i^\ast b_i\right|^2 =\sum\limits_{i,j}c_i^\ast c_jb_i^\ast b_j=\sum\limits_i|c_i|^2|b_i|^2+\sum\limits_{i\neq j}c_i^\ast c_jb_i^\ast b_j$

Wichtig ist hier, dass nicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Teilchen $\rho(x)=|\langle x|\psi\rangle|^2$ überlagert werden, sondern die (komplexen) Wellenfunktionen selbst. Würden die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten überlagert, so würde man in obiger Formel den hinteren Interferenzanteil verlieren und das Interferenzmuster verschwindet.

De Broglie postulierte bereits Anfang des Jahrhunderts, dass allen massiven Teilchen eine Wellenlänge λ = h / p zugeschrieben werden kann, wobei p der Impuls des Teilchens ist und h das Plancksche Wirkungsquantum. Mit dieser Wellenlänge kann man direkt die Wellenfunktion $f(\vec x,t)$ für ein Teilchen konstruieren und so die Interferenzmuster mit den weiter oben für Licht beschriebenen Methoden berechnen.

Einzelnachweise

1. ↑ Concise Oxford Dictionary, ISBN 0-19-861200-1
2. ↑ Katja Bammel: Schall gegen Schall - aktive Lärmunterdrückung, Physik Journal Februar 2007, S.42-43
3. ↑ A Tonomura, J Endo, T Matsuda, T Kawasaki and H Ezawa: Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, American Journal of Physics 57(1989), 117-120.
4. ↑ Markus Arndt, Olaf Nairz, Julian Voss-Andreae, Claudia Keller, Gerbrand van der Zouw und Anton Zeilinger: Wave–particle duality of C₆₀ molecules, Nature 401 (1999), 680-682, [1]
5. ↑ Michael Springer: Welle oder Teilchen – ein Test mit dem Quantenradierer. In: Spektrum der Wissenschaft. 1, Spektrum der Wissenschaft Akademischer Verlag, 1996. 

Literatur

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Joachim Streubel, Jochen Balla: Quantenmechanik. Band 1. 3. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin, New York 2007, ISBN 3-110-19324-8. 
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloe: Quantenmechanik. Band 2. 3. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin, New York 2008, ISBN 3-110-20149-6. 

Weblinks

• Graphische Lösung von Überlagerungen
• Simulationen mit Zeitfunktionen
• Online-Rechner für Interferenzfarben an dünnen Schichten
• Vorlesung Physik III, 59. Stunde beinhaltet das Thema Interferenz und Kohärenz - benötigt ein wenig Hintergrundwissen
• Bedeutung der Interferenz in der Audiotechnik (incl. Grafiken)
• Interferenz von einzelnen Photonen im Interferometer mit Quantenradierer