Reelle Analysis

Die Analysis [aˈnalyzɪs] (gr. ανάλυσις análysis „Auflösung“, altgr. ἀναλύειν ánalýein „auflösen“) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurden. Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Die Methoden der Analysis sind in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von großer Bedeutung.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Zielmenge in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der Funktionentheorie.

Differentialrechnung

Hauptartikel: Differentialrechnung

Bei einer linearen Funktion bzw. einer Geraden

g(x) = mx + c

heißt m die Steigung und c der y-Achsen-Abschnitt oder Ordinatenabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte (x₀,y₀) und (x₁,y₁) auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch

$m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}.$

Bei nicht linearen Funktionen wie z.B. f(x) = x² kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da diese Kurven beschreiben und somit keine Geraden sind. Jedoch kann man an einen Punkt (x₀,f(x₀)) eine Tangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle x₀ berechnen kann. Wählt man eine Stelle x₁ ganz nahe bei x₀ und legt eine Gerade durch die Punkte (x₀,f(x₀)) und (x₁,f(x₁)), so ist die Steigung dieser Sekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist (s.o.)

$m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.$

Diesen Quotienten nennt man den Differenzenquotienten oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle x₁ immer weiter an x₀ annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben

$f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

und nennen dies die Ableitung oder den Differentialquotienten von f in x₀. Der Ausdruck $\lim_{x\rightarrow x_0}$ bedeutet, dass x immer weiter an x₀ angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischen x und x₀ beliebig klein wird. Wir sagen auch: „x geht gegen x₀“. Die Bezeichnung $\lim$ steht für Limes.

$f^\prime (x_0)$ ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x₀, wenn der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ existiert.

Integralrechnung

Hauptartikel: Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine Summe von Teilflächen approximiert werden und geht im Grenzwert in das Integral über.

$\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x := \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i \frac{b-a}{n}\right).$

Die obige Folge konvergiert, falls f gewisse Bedingungen (wie z. B. Stetigkeit) erfüllt. Diese anschauliche Darstellung (Approximation mittels Ober- und Untersummen) entspricht dem so genannten Riemann-Integral, das in der Schule gelehrt wird.

In der so genannten Höheren Analysis werden darüber hinaus weitere Integralbegriffe, wie z. B. das Lebesgue-Integral betrachtet.

Hauptsatz der Analysis

Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem Hauptsatz der Analysis in folgender Weise „invers“ zueinander.

Wenn f eine auf einem kompakten Intervall [a,b] stetige reelle Funktion ist, so gilt für $x\in(a,b)$:

${\mathrm d \over \mathrm dx} \left(\int_a^x f(\bar x) \mathrm d\bar x\right)= f(x)$

und, falls f zusätzlich auf (a,b) gleichmäßig stetig differenzierbar ist,

$\int_a^x\left({\mathrm{d}\over \mathrm{d}\bar x}f(\bar x)\right)\mathrm{d}\bar x = f(x) - f(a).$

Deshalb wird die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f auch als unbestimmtes Integral bezeichnet und durch $\int f(x) \mathrm dx$ symbolisiert.

Mehrdimensionale Analysis

Beispiel für eine mehrdimensionale Funktion: f(x,y) = y ·sin x²

Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt die grundlegenden Konzepte nicht, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine reichere mathematische Vielfalt. Die mehrdimensionale Analysis betrachtet Funktionen mehrerer reeller Variablen, die oft als ein Vektor dargestellt werden.

Wichtige Begriffe aus der mehrdimensionalen Differentialrechnung sind partielle Ableitungen, das sind Ableitungen nach einer der Variablen und die totale Differentiation, interpretierbar als die lokale Anpassung einer linearen Abbildung an den Verlauf der mehrdimensionalen Funktion. Einen Zusammenhang zwischen diesen Begriffen stellt der Satz von Schwarz her. Der Satz von der impliziten Funktion über die lokale eindeutige Auflösung impliziter Gleichungen ist ein wichtiger Satz der mehrdimensionalen Analysis.

Wichtige Begriffe aus der mehrdimensionalen Integralrechnung sind das Kurvenintegral und das Raumintegral, sowie der Transformationssatz als Verallgemeinerung der Substitutionsregel im Mehrdimensionalen.

Die Vektoranalysis ist ein mathematisches Teilgebiet, welches zur Analysis gerechnet wird und welches sich tiefergehend mit Funktionen zwischen reellen Vektorräumen beschäftigt, und insbesondere für die Physik wichtige Sätze über Vektorfelder und Skalarfelder beweist.

Weitere Gebiete der Analysis

• Funktionen mit komplexen Veränderlichen (Komplexe Analysis oder auch Funktionentheorie)
• Differentialgleichungen
• Variationsprobleme
• Unendlichdimensionale Funktionenräume (Funktionalanalysis)
• Vektoranalysis
• harmonische Analyse
• Nichtstandardanalysis

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I, Birkhäuser, Basel 2006, ISBN 3-7643-7755-0
• Jean Dieudonné: Foundations of Modern Analysis, Academic Press, U.S., 1968 ISBN 0-12-215530-0
• Otto Forster: Analysis 1, Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-67224-2.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teubner, Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-62233-5
• Stefan Hildebrandt: Analysis, Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42838-0.
• Konrad Königsberger: Analysis, Bd. 1, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
• Wladimir Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik, Harri Deutsch Verlag, ISBN 3-8171-1419-2
• Wolfgang Walter: Analysis, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20388-5.

Weblinks