Volumenberechnung

Physikalische Größe
Name	Volumen Rauminhalt
Größenart	Länge
Formelzeichen der Größe	V
Abgeleitet von	Fläche
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI Kubikmeter (m3) L3 CGS Kubikzentimeter (cm3) L3 Planck Planck-Volumen ħ3/2·G3/2·c-9/2 Anglo- amerikanisch cu.in., cu.ft., cu.yd., … L3
Siehe auch: Flächeninhalt, Querschnitt, Querschnittsfläche

Das Volumen (Formelzeichen: V; v. lat.: volumen = Buch, Windung, Krümmung; aus volvere = wälzen, rollen) ist der räumliche Inhalt eines mathematischen Körpers.

In der Physik bezeichnet man mit dem Volumen die Ausdehnung (den Platzbedarf) eines Stoffes. Die SI-Einheit für das Raummaß ist der Kubikmeter (Einheitenzeichen m³). Vereinzelt liest man noch die veralteten Abkürzungen cbm für m³ und ccm für cm³. Die Schreibweise „m^3“ sollte nur noch dann benutzt werden, wenn das Anzeigesystem keine hochgestellten Exponenten anzuzeigen vermag.

Technisch muss unterschieden werden:

• Hohlvolumen, der freie Raum innerhalb gewisser Grenzen, etwa das Fassungsvermögen eines Behälters
• Rauminhalt, das Volumen fester Körper, von Flüssigkeiten oder Gasen

Geschichte

Die ersten bekannten Formeln zur Volumenbestimmung (auch Stereometrie) stammen schon aus dem frühen Ägypten. Das Moskauer Papyrus ist eine Sammlung von Rechenaufgaben und ist etwa auf das Jahr 1850 v. Chr. datiert. Unter anderem sind hier die Formeln für die Bestimmung der Volumina für Rechteckkegel beschrieben. Die Bestimmung wurde durch Analyse und anschließender Synthese erreicht. Das heißt, der Körper wurde in mehrere bekannte Körper zerlegt und die Einzelvolumina addiert.

Messmethoden

Im Laufe der Zeit haben sich ganz unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von Volumina entwickelt:

• Auslitern: Der Körper wird mit Sand oder Wasser gefüllt, dessen Menge anschließend in einem bekannten Gefäß bestimmt wird; somit lässt sich bei Gefäßen das Volumen ihres Innenraumes bestimmen.
• Wasserverdrängung: Der Körper wird in ein vollständig mit Wasser gefülltes Gefäß eingetaucht. Das übertretende Wasser wird anschließend in einem bekannten Gefäß gemessen.
• Bei einem Körper mit einem bekannten spezifischen Gewicht lässt sich das Volumen auch erwiegen.

Weiteres siehe im Abschnitt Volumensmessung im Artikel Messgerät.

Algebraische Berechnung

In der Theorie kann aus bekannten Ausmaßen und Form des Körpers ebenfalls das Volumen durch Rechnung nach für den entsprechenden Körper gültigen Formeln bestimmt werden:

Beispiele:

Würfel

• Würfel mit der Kantenlänge a:

$V = a\cdot a\cdot a = a^3$

• Quader mit den Kantenlängen a, b und c:

$V = a\cdot b\cdot c$

• Kugel mit dem Radius r:

$V = \frac{4}{3} \pi \cdot r^3$

• Rotationskörper der Funktion f(x) bei Rotation um die x-Achse:

$V = \pi \cdot \int_ {a}^b (f(x))^2\mathrm{d}x$

• Rotationskörper um die y-Achse:

$V = \pi \cdot \int_ {a}^b x^2 \mathrm{d}y$

• Körper, bei Schnitten orthogonal zur x-Achse: Hat ein Körper die stetige Querschnittsfunktion $x \mapsto f(x)$ mit x im Intervall (a;b) dann hat er das Volumen:

$V = \int_ {a}^b f(x)\mathrm{d}x$

• Zylinder oder Prisma mit der Grundfläche A und der Höhe h:

$V = A\cdot h$

• Kegel oder Pyramide mit der Grundfläche A und der Höhe h:

$V = A\cdot \frac{h}{3}$

• beliebiges trianguliertes 3-dimensionales Objekt:

$V = \frac{1}{3} \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{A_i}{3} \cdot \left({N_i}\cdot \sum_{j=1}^{3}v_{i,j}\right)$

wobei n für die Anzahl der Dreiecke steht; A die Fläche, N die normierte Normale und v die Ortsvektoren der Punkte eines Dreiecks sind.

Verallgemeinerung

Man kann ein Volumen auch über mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten definieren, siehe dazu auch Volumenform. Nach dieser Verallgemeinerung ist das Volumen eines Teilraumes des zweidimensionalen euklidischen Raumes gleich seinem Flächeninhalt im dreidimensionalen euklidischen Raum. In höherdimensionalen euklidischen Räumen würde man intuitiv rechnen (das Volumen eines n-dimensionalen Hyperwürfels mit Kantenlänge a beträgt also aⁿ).

Das einfachste polyedrische Volumen in einem n-dimensionalen Raum ist der Simplex, der von n+1 Punkten aufgespannt wird.

Hohlraum

Ein Hohlraum ist ein mathematisches, ein physikalisches oder ein natürliches Objekt. Ein Hohlraum hat ein Volumen, das man als Hohlvolumen bezeichnet. Ein in einer Struktur eingeschlossenes Volumen kann ein Hohlraum sein. Dabei verändert die Existenz von Hohlräumen oft die umliegende Struktur, z. B. in Hinsicht auf Festigkeit oder Elastizität (Siehe Porosität).

Ein natürlicher Hohlraum enthält ein Vakuum oder ist mit Gasen, Flüssigkeiten oder anderen Stoffen gefüllt, was wiederum die umschließende Struktur beeinflussen kann. Insbesondere kann die Grenzfläche zwischen Hohlraum und Struktur sich verändern, schwer zu erkennen sein oder auch nur auf gedanklicher Ebene existieren. Auch ein Hohlraum, der eine oder mehrere Öffnungen hat, also nicht vollständig von der umschließenden Struktur umgeben ist, wird umgangssprachlich so bezeichnet.

Die Größe des umschlossenen Volumens kann oft errechnet oder experimentell bestimmt werden. In manchen Fällen ist dies allerdings prinzipiell nicht möglich.

Hohlraumbildung ist ein oft auftretendes Phänomen bei geologischen und sonstigen physikalischen und chemischen Prozessen.

Evakuierte Hohlräume haben mehrere universelle Eigenschaften, eine davon ist die Hohlraumstrahlung.

Beispiele

• Hohlraum als Gefäß: Flasche, Tank, Verdauungssystem, Schwamm
• …als Aufenthaltsort: Wohnung, Höhle
• …als Ergebnis chemischer oder physikalischer Vorgänge: Luftblase, Seifenblase, „Löcher“ im Käse, Lunker

Siehe auch

• Volumenform
• Volumenkonzentration, Volumenprozent, Volumenverhältnis, Volumenanteil, spezifisches Volumen
• SI-Einheiten
• Größenordnung (Volumen)
• Messgerät

• Banach-Tarski-Paradoxon und Maßtheorie, zu den Grenzen des Volumenbegriffs der Mathematik bei Verwendung in der tatsächlichen Welt.

Weblinks