Formelsammlung Analysis

Dies ist eine Formelsammlung zur Analysis.

Folgen und Reihen

Arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische Folge

$a_{n+1}-a_n=d \quad \mathrm{f\ddot ur\; alle\;} n$

$a_n=\tfrac12(a_{n-1}+a_{n+1})$

$\,a_n=a_1+(n-1)d$

Geometrische Folge

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q \quad \mathrm{f\ddot ur\;alle\;}n, q\in\R\setminus0$

$a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Grenzwerte: Definition (Folgen)

• Die Folge (a_n) heißt Nullfolge, wenn es zu jedem ε > 0 eine Nummer n₀ gibt, sodass für alle Folgeglieder mit höherer Nummer, also n > n₀ gilt:

$\,|a_n|<\epsilon$

• Eine Folge (a_n) hat den Grenzwert a, wenn die Folge (a_n − a) den Grenzwert 0 hat.
• Folgen ohne Grenzwert heißen divergent.
• Eine Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl K > 0 gibt, sodass | f_n | < K für alle $n\in\N$ gilt.

Grenzwertsätze (Folgen)

Hat die Folge (a_n) den Grenzwert a, die Folge (b_n) den Grenzwert b, so gilt:

• $\lim_{n\to\infty} (a_n\pm b_n)=a\pm b$
• $\lim_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n)=a\cdot b$
• $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac ab \qquad b\not= 0$

Funktionen (formale Eigenschaften)

Grenzwerte von Funktionen

• [Definition, Eigenschaften, Grenzwertsätze analog]

Regel von l'Hospital

Sei $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.$

Voraussetzungen:

• Es gibt eine Stelle a, sodass u(a) und v(a) entweder Null sind oder bestimmt divergieren
• u und v sind in einer Umgebung von a differenzierbar
• Der Grenzwert $\lim_{x\to a}\frac{u'(x)}{v'(x)}$ existiert.

Dann gilt:

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Einseitige Grenzwerte

Die Funktion $f: X\to\R\;$ hat für $x \to p+$ den Limes $L\;$, wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\varepsilon > 0\;$ ein $\delta > 0\;$ gibt, sodass für alle $x\;$-Werte aus dem Definitionsbereich $X\;$ von $f\;$, die der Bedingung $0<x - p < \delta\;$ genügen, auch $|f(x) - L| < \varepsilon\;$ gilt.

In diesem Falle nennt man den Grenzwert $\lim_{x \to p+} f(x) := L$ konvergent.

Stetigkeit

Eine Funktion f heißt an einer Stelle x_o stetig, wenn der Grenzwert von f für x gegen x₀ existiert und mit dem Funktionswert f(x₀) übereinstimmt

$f(x_0)=\lim_{h\to0}f(x_0+h)=\lim_{h\to0}f(x_0-h)=\lim_{x\to x_0}f(x)$

• Epsilon-Delta-Kriterium:$f\colon D \to \R$ ist stetig in $x_0 \in D$, wenn
  zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle $x \in D$ mit | x − x₀ | < δ gilt: | f(x) − f(x₀) | < ε.
• Folgenkriterium: $f\colon D\to \R$ ist stetig in $x_0 \in D$, wenn für jede Folge $(x_k)_{k\in\N}$ mit Elementen $x_k\in D$, die gegen x₀ konvergiert, auch f(x_k) gegen f(x₀) konvergiert.

Grundlegendes

Zwischenwertsatz

Eine im Intervall [a,b] (a < b) stetige Funktion f nimmt jeden Funktionswert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal an.

Spezialfall: Nullstellensatz

Eine in I steige Funktion, bei der f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen haben, hat dort mindestens eine Nullstelle.

Extremwertsatz

Eine in einem Intervall stetige Funktion hat dort stets einen größten und einen kleinsten Funktionswert.

Mittelwertsatz

Es sei $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] (a < b) stetig und differenzierbar. Dann gibt es mindestens ein $x_0 \in (a,b)$, so dass

$f'\left(x_0\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

gilt.

Differentialrechnung

Differenzierbarkeit: Definitionen

Eine Funktion f ist genau dann differenzierbar an einer Stelle x₀ ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von f an der Stelle x₀.

Geometrisches: Tangenten

Tangentengleichung zu f im Punkt P(x₀ | f(x₀))

$y=f'(x_0)\!\,(x-x_0)+f(x_0)$

Normale (Senkrechte)

$y=\frac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0)$

Ableitungsregeln

Konstante Funktion

$\left(a\right)' = 0$

Faktorregel

$(a\cdot f)' = a\cdot f'$

Summenregel

$\left(g \pm h\right)' = g' \pm h'$

Produktregel

$(g\cdot h)' = g' \cdot h + g \cdot h'$

Quotientenregel

$\left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g' \cdot h - g \cdot h'}{h^2}$

Potenzregel

$\left(x^n\right)' = n x^{n-1}$

Kettenregel

$(g \circ h)'(x) = (g(h(x)))' = g'(h(x))\cdot h'(x)$

Ableitung der Potenzfunktion f(x) = g(x)^h(x)

$f'(x) = \left(h'(x)\ln(g(x)) + h(x) \frac{g'(x)}{g(x)}\right) g(x)^{h(x)}$.

Leibnizsche Regel

Die Ableitung n-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei n-fach differenzierbaren Funktionen f und g ergibt sich aus

$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}$.

Die hier auftretenden Ausdrücke der Form $\tbinom nk$ sind Binomialkoeffizienten.

Formel von Faà di Bruno

Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der n-ten Ableitung der Komposition zweier n-fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

Ableitungen wichtiger Funktionen

siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Geometrische Anwendungen: Eigenschaften von Kurven (Kurvendiskussion)

Betrachtet wird $f: x \mapsto f(x)$

Untersuchungsaspekt	Kriterium
Nullstelle	$f(x_N) = 0 \,$
Extremwert	$f'(x_E) = 0 \quad\text{und}\quad f''(x_E) \ne 0$
Minimum	$f'(x_E) = 0 \quad\text{und}\quad f''(x_E) > 0$
Maximum	$f'(x_E) = 0 \quad\text{und}\quad f''(x_E) < 0$
Wendepunkt	$f''(x_W) = 0 \quad\text{und}\quad f'''(x_W) \ne 0$
Sattelpunkt	$f'(x_W) = 0 \quad\text{und}\quad f''(x_W) = 0 \quad\text{und}\quad f'''(x_W) \ne 0$
Verhalten im Unendlichen	$\lim_{x \to \infty} f(x) \quad \text{und} \quad \lim_{x \to - \infty} f(x)$
Symmetrie
Achsensymmetrie zur Koordinatenachse („gerade“)	$f(x)=f(-x) \,$
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung („ungerade“)	$-f(x)=f(-x) \,$
Monotonie
monoton steigend bzw. streng monoton steigend	$f'(x) \ge 0 \quad \text{bzw.} \quad f'(x) > 0 \,$
monoton fallend bzw. streng monoton fallend	$f'(x) \le 0 \quad\text{und}\quad f'(x) < 0$
Krümmung
Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen)	$f''(x) \ge 0 \,$
Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen)	$f''(x) \le 0 \,$
Periodizität	$f(x+p) = f(x) \,$

Gebrochenrationale Funktionen

Funktion:

$f(x)=\frac{a_z x^z+a_{z-1} x^{z-1}+\cdots +a_1x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots +b_1x+b_0} = \frac{P_z(x)}{Q_n(x)}$

• Einteilung
  • Ist das Nennerpolynom Q_n vom Grad 0, also n = 0 und ist P_z nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen oder einer Polynomfunktion.
  • Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
  • Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
  • Ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden.
• Definitionsbereich
  • $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \lbrace x_0 \mid q(x_0) = 0 \rbrace$
• Asymtotisches Verhalten: Für $x\to\infty$ geht f(x)
  • [falls z > n] gegen $\sgn(a_z)\cdot\sgn(b_n)\cdot\infty$, wobei sgn das Vorzeichen des Summanden mit der größten Potenz jeweils in Zähler und Nenner bezeichnet.
  • [falls z = n] gegen $\tfrac{a_z}{b_n}$
  • [falls z < n] gegen 0 (die x-Achse)
• Symmetrie
  • Sind p und q beide gerade oder beide ungerade, so ist f gerade (symmetrisch zur y-Achse)
  • Ist p gerade und q ungerade, so ist f ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung); gleiches gilt, wenn p ungerade und q gerade ist.
• Polstellen liegen vor, wenn
  • $q(x_p) = 0 \quad\text{und}\quad p(x_p) \ne 0$
• Asymptoten: Mittels Polynomdivision von p durch q erhält man $p = g\cdot q + r$ mit Polynomen g und r, wobei der Grad von r kleiner als der von q ist. Das asymptotische Verhalten von $f=\tfrac pq=g+\tfrac rq$ ist damit durch die ganzrationale Funktion g bestimmt :
  • $[z < n]\,$ x-Achse ist Asymptote: g(x) = 0
  • $[z = n]\,$ waagerechte Asymptote: $g(x) = \frac{a_z}{b_n}$
  • $[z = n + 1]\,$ schräge Asymptote: $g(x) = mx + c \,; m \ne 0$
  • $[z > n + 1]\,$ ganzrationale Näherungsfunktion

Integralrechnung

Flächenberechnung

Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall von a bis b ist

• $\int_a^bf(x)\mathrm dx,\qquad \text{falls }f(x)\ge0\forall x\in[a,b]$
• $-\int_a^bf(x)\mathrm dx,\qquad \text{falls }f(x)\le0\forall x\in[a,b]$
• Andernfalls ist das Intervall durch Bestimmung der Nullstellen in solche Teilintervalle zu zerlegen.

Eigenschaften des bestimmten Integrals

$\int_a^b f(x)\mathrm dx=-\int_b^a f(x)\mathrm dx$

$\int_a^af(x)\mathrm dx=0$

$\int_a^cf(x)\mathrm dx=\int_a^bf(x)\mathrm dx+\int_b^cf(x)\mathrm dx,\qquad a<b<c$

$\int_a^b k\cdot f(x)\mathrm dx=k\cdot\int_a^bf(x)\mathrm dx$

$\int_a^b(f(x)+g(x))\,\mathrm dx=\int_a^bf(x)\mathrm dx+\int_a^bg(x)\mathrm dx$

Integralfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Integralfunktion

$F_a(x)=\int\limits_a^xf(t)\mathrm dt$

Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

$F_a(x)'=f(x)\,$

Stammfunktion

Jede Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn für alle x des Definitionsbereichs gilt

$F'(x)=f(x)\,$

Dies bezeichnet der Ausdruck $\int f(x)\mathrm dx$

Integration

Ist F irgendeine Stammfunktion von f, so gilt

$\int_a^bf(x)\mathrm dx=F(b)-F(a)$

Spezielle Stammfunktionen

Die Stammfunktionen von f(x) = xⁿ sind

$F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,\qquad n\not= -1$

Alles weitere siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Integrationsmethoden

Produkt-, Teil- oder partielle Integration

• unbestimmt

  $\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)\mathrm dx$

  $\int f(x)\cdot g(x)\mathrm dx=f(x)\cdot G(x)-\int f'(x)\cdot G(x)\mathrm dx$

• bestimmt

  $\int_a^bf(x)\cdot g'(x)\mathrm dx=[f(x)\cdot g(x)]_a^b-\int_a^bf'(x)\cdot g(x)\mathrm dx$

Integration durch Substitution

• unbestimmt

  $\int f(x)\mathrm dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm dt$

• bestimmt

  $\int_a^bf(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)\mathrm dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\mathrm dx$

• Spezialfall: lineare Substitution

  $\int f(mx+n)\mathrm dx=\frac1mF(mx+n)+C,\qquad m\neq0$

  $\int_a^bf(mx+n)\mathrm dx=\frac1m\lbrack F(mx+n)\rbrack_a^b, \qquad m\neq0$

• Spezialfall: logarithmische Integration

  $\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx=\ln|f(x)|+C,\qquad f(x)\neq0$

Angewandtes

Volumenbestimmung

• Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a,b]

  $\pi\cdot\int_a^bf^2(x)\mathrm dx$

• Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen der umkehrbaren Funktion f und der y-Achse im Intervall [a,b]

  $\pi\cdot\int_{f(a)}^{f(b)}(f^{-1}(y))^2\mathrm dy$

• Volumen des Körpers, der bei y-Rotation der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden x = a und x = b begrenzt wird, entsteht

  $2\pi\cdot\int_a^b(x\cdot f(x))\mathrm dx$

Guldinsche Regeln

M Oberflächeninhalt

V Volumen

L Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)

A Flächeninhalt der erzeugenden Fläche

R Radius des Schwerpunktkreises

Erste Regel

$M = L \cdot 2 \pi R$

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt sich dies als:

• bei Rotation um die x-Achse

  $M = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x.$

• bei Rotation um die y-Achse

  $M = 2\pi\int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} f^{-1}(y)\sqrt{1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^2}\mathrm{d}y.$

Zweite Regel

$V = A \cdot 2 \pi R.$

Im Fall der Rotation um die x-Achse einer Fläche zwischen f(x), der x-Achse und den Grenzen x=a und x=b ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch f(x) mit R als Flächenschwerpunkt zu

$V = A \cdot 2 \pi \tfrac{1}{A}\int_Ay\mathrm{d}A = \pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \mathrm{d}x$

mit $y = \tfrac{f(x)}{2}$ und dA = f(x)dx.

Weiteres

• Ist f auf [a,b] stetig, so heißt $\bar m$ der Mittelwert der Funktionswerte von f auf [a,b]

  $\bar m=\frac1{b-a}\cdot\int_a^bf(x)\mathrm dx$

• Länge des Bogens der differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b]:

  $L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\mathrm dx$

Näherungsweises Berechnen von Integralen: Numerische Integration

• Zerlegungssummen

  $\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx hf(x_1)+hf(x_2)+\cdots+hf(x_n)\qquad\text{mit }h=\frac{b-a}n$

• Keplersche Fassregel

  $\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx\frac16\cdot\left(f(a)+4\cdot f\left(\frac{a+b}2\right)+f(b)\right)$

• Trapezregel
  • Sehnentrapez

  $\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx \frac{f(b)+f(a)}2\cdot(b-a)$

  $\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx\frac{b-a}{2n}\left(f(x_0)+2f(x_1)+\cdots+2f(x_{n-1}+f(x_n)\right)$

  • Tangententrapez

  $\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx \frac{b-a}2\cdot\frac{b-a}2$

• Simpsonregel

  $\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx\frac{b-a}6\cdot\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}2\right)+f(b)\right)$

  $\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx\frac{b-a}{6n}\cdot\left(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\cdots f(x_n)\right)$

Quellen

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.