ELO-Zahl

Schach

Go

Das Elo-System ist ein objektives Wertungssystem, das es erlaubt, die Spielstärke von Go- und Schachspielern durch eine Wertungszahl (kurz: Elo-Zahl) zu beschreiben. Das System wurde von Arpad Elo 1960 für den amerikanischen Schachverband USCF entwickelt und 1970 vom Weltschachverband FIDE (auf dem Kongress in Siegen) übernommen.

Der Weltschachverband nennt sein System „FIDE rating system“; eine Wertungszahl darin heißt offiziell „FIDE rating“, wird umgangssprachlich aber zumeist einfach als „Elo-Zahl“ bezeichnet. Neben dem internationalen Wertungssystem der FIDE existieren auch noch nationale Wertungssysteme mit unterschiedlichen Namen. In Deutschland heißt das nationale Wertungssystem DWZ, in Österreich werden (nationale) Elo-Zahlen berechnet und in der Schweiz gibt es eine Führungsliste mit Führungszahlen. Alle diese Systeme werten wesentlich mehr lokale Turniere aus, berechnen die Wertungszahlen aber ebenso nach den Methoden von Arpad Elo mit meist nur geringen Modifikationen und abweichenden Faktoren.

Berechnung

Jemand, der zum Beispiel gerade in den Schachklub eingetreten ist, hat noch keine Elo-Zahl. Nach einer Reihe von Partien gegen verschiedene Spieler wird seine Elo-Zahl zunächst eingeschätzt. Nach dieser Phase werden die tatsächlichen Ergebnisse der Partien für den Elo-Punktestand gewertet.

Für die jeweilige Berechnung des neuen Elo-Stands ist die erwartete Punktezahl wichtig, die Spieler A gegen Spieler B voraussichtlich erreicht. Dabei gilt: für einen Sieg gibt es einen, für ein Unentschieden einen halben und für eine Niederlage keinen Punkt.

Anmerkung: Gäbe es kein Remis, so wäre die erwartete Punktezahl gerade die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt. Da eine Schachpartie auch unentschieden enden kann, ist der erwartete Punktestand gleich der Wahrscheinlichkeit zu gewinnen plus einhalb mal der Wahrscheinlichkeit zu remisieren. Die Wahrscheinlichkeiten für Sieg, Remis und Niederlage werden im Elo-System gar nicht benötigt, sondern nur die Erwartungswerte.

$E_A = \frac {1}{1 + 10^{(R_B - R_A) / 400} }$

E_A: Erwarteter Punktestand für Spieler A. Bei einer Serie von 5 Spielen kann man auch E_A mit 5 multiplizieren.

R_A: bisherige Elo-Zahl von Spieler A

R_B: bisherige Elo-Zahl von Spieler B

Der Erwartungswert für A beträgt nun E_A · 100 %. Die neue Elo-Zahl von Spieler A ist

$R_A^\prime = R_A + k \cdot (S_A - E_A)$

k: ist üblicherweise 15, bei Top-Spielern (Elo > 2400) 10, bei weniger als 30 gewerteten Partien 25

S_A: tatsächlich gespielter Punktestand (1 für jeden Sieg, 0,5 für jedes Unentschieden, 0 für jede Niederlage)

Anmerkung 1: Die in der Formel enthaltene Zahl 400 sowie der ursprüngliche k-Faktor wurden von Arpad Elo so gewählt, dass die Elo-Zahlen mit den Wertungszahlen des früher verwendeten Rating-Systems von Kenneth Harkness möglichst gut kompatibel sind. Tatsächlich kann man das Harkness-Modell als eine stückweise lineare Approximation an das Elo-Modell auffassen.

Anmerkung 2: Es lässt sich auf mathematischem Wege leicht zeigen, dass gilt: E_A + E_B = 1

Ein (erfundenes) Beispiel

Der Schachspieler Garri Kasparow (Elo: 2806) spielt gegen die Schachspielerin Zsuzsa Polgár (Elo: 2577). Gemäß der ersten Formel erwartet man, dass Kasparow (Spieler A) gegen Polgar (Spieler B) im Mittel E_A = 0,789 Punkte pro Spiel bekommt:

$E_A = \frac {1}{1 + 10^{(2577 - 2806) / 400} }= 0{,}789$

Nach einem Spiel gibt es drei Möglichkeiten:

Polgar gewinnt

Also S_A = 0. Die neuen Elo-Punktestände R'_A für Kasparow und R'_B für Polgar sind

$R_A^\prime = 2806 + 10 \cdot (0 - 0{,}789) = 2798, \qquad R_B^\prime = 2577 + 10 \cdot (1 - 0{,}211) = 2585.$

Kasparow büßt also acht Elo-Punkte ein, während Polgar acht Elo-Punkte gewinnt.

Kasparow gewinnt

Also S_A = 1. Kasparow erhält zwei weitere Elo-Punkte, Polgar verliert zwei:

$R_A^\prime = 2806 + 10 \cdot (1 - 0{,}789) = 2808, \qquad R_B^\prime = 2577 + 10 \cdot (0 - 0{,}211) = 2575.$

Unentschieden

Also S_A = 0,5. Kasparow verliert drei Elo-Punkte, Polgar gewinnt drei:

$R_A^\prime = 2806 + 10 \cdot (0{,}5 - 0{,}789) = 2803, \qquad R_B^\prime = 2577 + 10 \cdot (0{,}5 - 0{,}211) = 2580.$

Schach

Vor Einführung der Elo-Zahl stufte man die Spieler beim Schach in neun Klassen oder Kategorien ein. Ein Unterschied von einer Klasse bedeutete, dass der bessere Spieler als Ergebnis einer Partie 0,75 Punkte erwarten darf. Im Elo-System entspricht dieser Spielstärkeunterschied einer Differenz von 200 Wertungspunkten.

Nach der Wertungszahl kann man Schachspieler folgenden Kategorien zuordnen (Titel der Frauen in Klammern):

Elo-Zahl	Kategorie
ab 2700	Super-Großmeister
2500-2699	Großmeister
2400-2499	Internationaler Meister
2300-2399	FIDE-Meister (bzw. Großmeister der Frauen (WGM))
2200-2299	Candidate Master oder Nationaler Meister (bzw. Internationaler Meister der Frauen (WIM))
2100-2199	Meisteranwärter (bzw. FIDE-Meister der Frauen (WFM))
2000-2099	Experte (bzw. Candidate Master der Frauen (WCM))
1800-1999	Amateur, Klasse A, sehr guter Vereinsspieler
1600-1799	Amateur, Klasse B, starker Freizeitspieler
1400-1599	Amateur, Klasse C, überdurchschnittlicher Spieler
1200-1399	Amateur, Klasse D, durchschnittlicher Hobbyspieler
1000-1199	Gelegenheitsspieler
unter 1000	Anfänger

Zu beachten ist dabei, dass man die verschiedenen Titel Großmeister (GM) und Internationaler Meister (IM) nicht nur auf Grund einer bestimmten Elo-Zahl erhält, sondern durch die Erfüllung von anderen festgelegten Normen. Um den Titel nach Erfüllung aller Normen zu erhalten, muss ein angehender GM allerdings eine Elo-Zahl von mindestens 2500, ein IM eine Zahl von mindestens 2400 einmal erreicht haben. Die Anforderungen an Titel für Frauen liegen jeweils um 200 Elo-Punkte niedriger als an entsprechende Titel für Männer.

Der Umfang einer Klasse beträgt 200 Elo-Punkte. Das System ist so kalibriert, dass ein Unterschied von 200 Punkten einer Gewinnerwartung des stärkeren Spielers von 75% entspricht, 400 Punkte entsprechen knapp 94% Gewinnerwartung. Der Vergleich beruht auf statistischen Verfahren. Schon bei 600 Punkten Unterschied gewinnt der stärkere Spieler praktisch-statistisch immer, und zwar obwohl die Spielstärke bei Menschen natürlich von der Tagesform und Motivation abhängt. Bei Computern ist die Verteilung nicht nur per 200-Punkte-Definition gleich, sondern auch vom Kurvenverhalten her darüber hinaus sehr ähnlich, allerdings gibt es bei ähnlich starken Maschinen eine weitere Spielstärkenspreizung in den verschiedenen Partiephasen.

Turnierkategorie

Auch Rundenturniere werden nach der durchschnittlichen Elo-Zahl der Teilnehmer in Kategorien eingeteilt. Hierbei entspricht ein Unterschied um eine Kategorie 25 Elo-Punkten. Als Turnier der Kategorie 1 wird dabei ein Turnier eingestuft, deren Teilnehmer im Schnitt 2250 bis 2274 Elo-Punkte haben. Die zur Zeit stärksten Turniere erreichen die Kategorie 21, was einem Schnitt von 2750 bis 2774 Elo-Punkten entspricht.

Statistik

Das Elo-System teilt die Schachspieler mit Hilfe einer Wertungszahl in neun Klassen ein, wobei die untere Grenze der obersten Klasse bei 2600 und die obere Grenze der untersten Klasse bei 1200 liegt. Die Wertungszahlen eines einzelnen Spielers sind intervallskaliert und normalverteilt; sie schwanken mit einer Standardabweichung von 200 um einen mittleren Wert. Es gibt viele Spieler mit Spielstärken unter 1200, das Elo-System ist auf diesem Spielniveau in der Vorhersagesicherheit aber nur eingeschränkt gültig. Wichtig ist insbesondere auf Hobbyspielerniveau, dass ein Spieler seine Zahl auch gegen stärkere Gegner verteidigen kann, ohne sich auf besondere Eigenschaften wie unbewusste psychische Schwächen oder schlechtes Zeitmanagement von Neulingen konzentrieren zu müssen. Utopische hohe Werte werden durch Niederlagen schnell, exakt und zuverlässig korrigiert. Die recht stabile Elo-Zahl wird mit verschiedenen Verfahren ermittelt. Manche gehen von wenigen Spielen aus oder von ähnlich starken Turnierteilnehmern, nach vielen Partien erreichen alle sehr ähnliche Gleichgewichte.

Grundlage der Berechnung ist die Hypothese, die Verteilung der Spielstärke in der Gesamtheit der Spieler entspreche mathematisch der Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve). Ausgehend von dieser Hypothese lässt sich für zwei Gegner statistisch voraussagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der eine Spieler gewinnen wird. Im Sonderfall der identischen Wertungszahl sind die Wahrscheinlichkeiten gleich hoch. Bei einem Turnier lässt sich anhand der Wertungszahl eines Spielers und des Durchschnitts der Wertungszahlen seiner Gegner voraussagen, welche Punktzahl er wahrscheinlich erzielen wird. Nach Abschluss des Turniers wird das tatsächliche Ergebnis mit dem statistisch vorausgesagten Ergebnis verglichen und aus der Abweichung die neue Wertungszahl des Spielers errechnet.

Probleme von Rating-Systemen

Intransitivität von Wahrscheinlichkeitsrelationen

Ist Spieler A gegenüber Spieler B der Favorit und B gegenüber C, so besitzt A ein höheres Rating als B und B ein höheres als C. Damit besitzt A ein höheres Rating als C und müsste Favorit gegenüber C sein.

Diese Folgerung ist aber keineswegs zwingend, da Wahrscheinlichkeits- bzw. Präferenzrelationen nicht notwendigerweise transitiv sind (vgl. Condorcet-Paradoxon, „Chinesische Würfel“ oder „Intransitive Würfel“) – dieses Problem ist natürlich keine Besonderheit des Elo-Systems, sondern ein prinzipielles Problem aller Rating-Systeme.

Transitivität ist jedoch eine notwendige Voraussetzung für ein sinnvolles Rating-System. Um diese Eigenschaft zu sichern, sind zusätzliche spezielle Annahmen zu treffen über die Wahrscheinlichkeits-Verteilungen der Spielstärken, die als Zufallsvariable zu interpretieren sind. Zu diesem Zweck setzte Arpad Elo bei der Entwicklung seines Rating-Systems als zusätzliche Hypothese eine quantitative Aussage bezüglich des Verhältnisses der Spielstärken von A und C voraus:

Lässt man einmal die Möglichkeit von Remis außer acht, so besagt die Grundidee des Elo-Systems, dass, wenn etwa Spieler A gegenüber Spieler B ein 3:1-Favorit (d. h. A gewinnt 75 % der Partien gegen B) ist und B gegenüber C ein 2:1-Favorit, so fordert bzw. folgt aus Elos Modell, dass A gegenüber C ein 6:1-Favorit ist. Ohne diese Voraussetzung bräuchte A nicht einmal der Favorit zu sein.

Allgemein: Ist A ein x:1-Favorit gegenüber B und B ein y:1-Favorit gegenüber C, so ist gemäß Elos Modell A ein xy:1-Favorit gegenüber C.

Dies kann man leicht nachrechnen – diese Forderung geht natürlich weit über die rein qualitative Aussage der Transitivität hinaus. Diese Multiplikativität ist aber keine Konsequenz aus einer Normal- bzw. logistischen Verteilung. Man liest zwar oft, dass das Elo-Modell von einer dieser Verteilungen ausgeht, doch genügen diese Verteilungen nur in sehr grober Näherung der Forderung nach Multiplikativität, sodass die Forderung nach Multiplikativität den besseren Ausgangspunkt für die Entwicklung des Modells darstellt – insbesondere für die Kalkulation der Spielstärken von Spielern früherer Epochen.

Deflation und Inflation

Will man mithilfe der Elo-Zahlen – oder anderer Ratings, dies betrifft nicht nur das Elo-System – die Stärken von Spielern aus unterschiedlichen Epochen vergleichen, so sollte ein Rating von z. B. 1600 aus dem Jahre 1970 gleichbedeutend mit einem Rating von 1600 aus dem Jahre 2000 sein. Insbesondere sollte, da sich infolge der Weiterentwicklung der Theorie die durchschnittliche Spielstärke im Laufe der Zeit zumindest nicht verschlechtert, sich die mittlere Ratingzahl nicht verringern.

Beim Elo-System gewinnt der Sieger einer Partie genau soviele Rating-Punkte hinzu, wie der Verlierer einbüßt: die mittlere Spielstärke beider bleibt gleich. Umfasst der Ratings-Pool nur Spitzenspieler, so ist folgendes Phänomen zu beobachten: Sooft ein Spieler neu in die Ratings aufgenommen wird, tritt er mit einer gewissen (niedrigen) Punktezahl ein. Im Laufe seiner Karriere verbessert er seine Stärke, gewinnt Punkte hinzu, und scheidet später mit einer (hohen) Punktezahl aus – dadurch werden der Gesamtheit Punkte entzogen, und die mittlere Ratingzahl sinkt; d. h. das System ist deflationär.

Vergrößert man den Ratings-Pool, so tritt der entgegengesetzte Effekt auf: Viele Spieler verlassen den Ratings-Pool mit einem niedrigeren Rating, als ihnen bei Eintritt zugemessen wurde – das System wird nun inflationär.

Dies war insbesondere früher der Fall, als der Weltschachbund FIDE Schachspieler erst ab einer Wertungszahl von 2200 in die Rangliste aufnahm. Da die Elo-Auswertung von Turnieren gebührenpflichtig ist und damit für die FIDE eine Einnahmequelle darstellt, wurde diese Schwelle immer weiter herab gesenkt, derzeit liegt sie bei 1400. Dennoch lässt es sich nicht vermeiden, dass viele Spieler den Ratings-Pool mit niedrigeren Wertungszahlen verlassen als sie bei Eintritt erhielten.

Eine maßvolle Inflation ist jedoch durchaus erwünscht, diese sollte in ihrem Ausmaß der Weiterentwicklung der Spielstärken im Laufe der Zeit Rechnung tragen, allerdings ergibt sich hier zumeist das Problem einer zu großen Inflation.

So konnten die Elo-Zahlen immer neue Rekorde erreichen, ohne eigentlich noch ein Maß für die Spielstärke absolut zu sein. Vor ca. 20 Jahren gab es z. B. nur zwei Spieler mit einer Elo-Zahl größer 2700, und nur ca. 10-20 Spieler erreichten einen Wert größer 2600.

Das Tausend-Partien-Problem

Ein weiteres Phänomen ist das sogenannte Tausend-Partien-Problem: Oft treffen Spieler der gleichen Spielstärke immer wieder aufeinander. Angenommen, zwei Spieler mit Elo 2000 spielen zehn Partien, bei denen der eine 80 % der Punkte erreicht. Nach der Berechnung der neuen Elo-Zahl ergeben sich die Werte 2080 für den Sieger und 1920 für den Verlierer. Tragen die beiden Spieler jedoch 1000 Partien mit gleichem Punkteverhältnis aus, ohne dass die Wertung aktualisiert wird, so ergibt sich für den Sieger eine neue Wertungszahl, die höher als die des aktuellen Weltmeisters ist.

Die Entwicklung der Wertzahlen wird auch von der Auswertungsperiode beeinflusst. Wurde bis 2002 nur halbjährlich ausgewertet, so wurde die Periode jetzt auf drei Monate verkürzt. Sinnvoll wäre prinzipiell eine Auswertung nach jedem Turnier, da so Formschwankungen von Spielern besser ausgeglichen werden können. Allerdings ist das derzeit nicht geplant.

Spielstärken ausgewählter Schachspieler

Der ehemalige Schachweltmeister Garri Kasparow erreichte 1999 die bisher unübertroffene Elo-Zahl von 2851 Punkten. Nach Einführung der Elo-Zahl im Jahr 1970 hatte zunächst Bobby Fischers Bestmarke von 2785 (vom Juli 1972) für lange Jahre Bestand.

Großmeister kommen normalerweise auf eine Elo-Zahl von mindestens 2500, ab 2600 Punkten kann man von der erweiterten Weltspitze sprechen. Die nach FIDE-Auswertung zwanzig am höchsten bewerteten Spieler sind mit Stand April 2009:

Rang	Name	Rating	Land
1	Wesselin Topalow	2812	Bulgarien
2	Viswanathan Anand	2783	Indien
3	Magnus Carlsen	2770	Norwegen
4	Wladimir Kramnik	2759	Russland
5	Teymur Räcäbov	2756	Aserbaidschan
6	Lewon Aronjan	2754	Armenien
7	Dmitri Jakowenko	2753	Russland
8	Alexander Morosewitsch	2751	Russland
9	Peter Leko	2751	Ungarn
10	Alexander Grischtschuk	2748	Russland
11	Sergei Movsesian	2747	Slowakei
12	Wassyl Iwantschuk	2746	Ukraine
13	Alexei Schirow	2745	Spanien
14	Wang Yue	2738	China
15	Boris Gelfand	2733	Israel
16	Vüqar Həşimov	2730	Aserbaidschan
17	Etienne Bacrot	2728	Frankreich
18	Peter Swidler	2726	Russland
19	Ruslan Ponomarjow	2726	Ukraine
20	Şähriyar Mämmädyarov	2725	Aserbaidschan
…
31	Arkadij Naiditsch	2700	Deutschland
…
37	Judit Polgár	2693	Ungarn
…
66	Vadim Milov	2659	Schweiz
…
438	Markus Ragger	2544	Oesterreich Österreich

Historische Elo-Zahl im Schach

Für den Vergleich heutiger Spitzenspieler mit Großmeistern vor der Einführung der Elo-Zahl wird die sogenannte Historische Elo-Zahl verwendet.

Computerschach

Eine Rangliste ausgewählter Schachprogramme ist im gleichnamigen Artikel zu finden.

Diese Elo-Zahlen sind nicht ohne weiteres mit denen menschlicher Schachspieler zu vergleichen, da sie überwiegend durch Partien zwischen Computern ermittelt wurden und nicht durch Teilnahme an offiziellen Turnieren.

Go

Bei Go wird die Spielstärke traditionell in Kyu- (Schüler) und Dan-Graden (Meister) angegeben.

Die Ermittlung dieser Spielstärke basiert innerhalb der European Go Federation und bei vielen Go-Servern im Internet auf einem von Elo abgeleiteten System, welches Kyu und Dan Grade wie folgt abbildet:

kyu / dan	Elo	Spielstärke und -erfahrung
30k		Regeln verstanden, aber noch keine Partie gespielt
29k - 28k		einige Partien gespielt
27k - 25k		einige Partien gegen Anfänger gewonnen
24k - 22k		einige Partien gegen Nicht-Anfänger gewonnen
21k - 18k	0 - 349	Hobby-Spieler
17k - 14k	350 - 749	regelmäßiger Hobby-Spieler
13k - 10k	750 - 1149	Club-Spieler
9k - 5k	1150 - 1649	regelmäßiger Club-Spieler
4k - 1k	1650 - 2049	guter Club-Spieler
1d - 3d	2050 - 2349	sehr guter Club-Spieler
4d - 7d	ab 2350	einer der besten Spieler seines Landes
1p - 9p	ab circa 2600	professioneller Go-Spieler (aus Japan, Korea oder China), der stärker als ein Amateur-6dan spielt

Fußball

Eine Adaption des Elo-Systems für Männernationalmannschaften im Fußball sind die World Football Elo Ratings.

Siehe auch

• Liste der Super-Großmeister im Schach

Weblinks

• Top 100 Aktive Schachspieler
• Elo-Liveliste, inoffizielles aktuelles Rating der Super-Großmeister
• FIDE-Rating Berechnung
• Eloabfrage mit historischen Zahlen bis 1990
• Elo-Ratings im Fußball
• EGF-Rangliste europäischer Go-Spieler

Wertungszahlen im Schach

DWZ | Elo-Zahl | Ingo-Zahl | NWZ