Simpson-Verteilung

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Siehe auch
4 Weblinks

Definition

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik bezeichnet man als Dreiecksverteilung (oder Simpson-Verteilung) eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der auf dem Intervall $\left[a, b\right]$ definierten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

$f(x)=\begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}, &amp;amp; \text{wenn } a \le x \le c\\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}, &amp;amp; \text{wenn } c &amp;lt; x \le b. \end{cases}$

Hierbei bestimmen die Parameter $a$ (minimaler Wert), $b$ (maximaler Wert) und $c$ (wahrscheinlichster Wert) die Gestalt der Dreiecksverteilung $(a\leq c\leq b)$ . Die Dichtefunktion sieht wie ein Dreieck aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen. Die y-Achse zeigt die jeweilige Wahrscheinlichkeit für einen Wert $x \in \left[a, b\right]$ .

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion lautet

$F(x)=\begin{cases} \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}, &amp;amp; \text{wenn } a \le x \le c\\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)}, &amp;amp; \text{wenn } c &amp;lt; x \le b. \end{cases}$

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer dreiecksverteilten Zufallsvariable $X$ lautet

$\operatorname E(X) = \frac{a+b+c}3.$

Varianz

Die Varianz einer dreiecksverteilten Zufallsvariable $X$ ergibt sich zu

$\operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{36}.$

Siehe auch

Thomas Simpson

Weblinks

Eric W. Weisstein: Triangular Distribution auf MathWorld (englisch)
Universität Konstanz – Interaktive Animation
Norman L. Johnson, Samuel Kotz: Non-Smooth Sailing or Triangular Distributions Revisited after Some 50 Years. The Statistician, Vol. 48, No. 2 (1999), S. 179–187

Diskrete univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Ewen's | Multinomial | Dirichlet Multinomial

Multivariate Matrixverteilungen:
Inverse-Wishart | Matrix Normal | Wishart

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